1.4 面板数据动态平滑转移回归模型的间接推断估计及其应用^[1]

宋涛 刘随随 白仲林^[2]

摘要：为了避免GMM估计中的矩条件选择问题，本文提出了估计含有个体固定效应的面板数据动态平滑转移回归模型的间接推断方法。通过蒙特卡洛模拟实验讨论了这种估计方法的有限样本性质，特别，对于较大的面板数据（时间维度或个体数较大）或者存在外生控制变量时，间接推断估计的精度显著提高。另外，本文通过非线性检验拒绝了我国菲利普斯曲线的线性形式，从而用面板数据动态平滑转移回归模型建立菲利普斯曲线模型，实证分析发现菲利普斯曲线的拐点位于转移变量（即产出缺口）等于0.016的位置，并且随着转移变量值的增加，产出缺口对通货膨胀的影响加剧，供给冲击对通货膨胀的影响也从负变为正。

关键词：面板数据 动态平滑转移回归模型 间接推断估计 菲利普斯曲线

1.4.1 引言

由于政治经济体制变迁、宏观调控政策变更以及金融危机和石油供给冲击等因素的影响，许多经济变量的动态演化过程呈现依某种状态渐变的结构转移（structural transition）特征。为了识别致使经济系统发生这种渐变型结构转移的状态因素及其他对经济变量影响的非对称效应，Teräsvirta和Anderson（1992）首先提出了时间序列的平滑转换自回归模型（smooth transition autoregressive model，i.e. STAR model），并且，该模型能够较好地描述多种代表经济周期波动的时间序列，例如，产出和失业率。STAR模型的非线性准确地刻画了产出对石油价格冲击的响应过程。Granger和Teräsvirta（1993）和Teräsvirta（1994）等文献系统地研究了两类时间序列STAR模型（LSTAR、ESTAR模型）的计量分析方法。之后，时间序列STAR模型以及STAR-ECM模型等在宏观经济政策分析、微观经济调整分析和金融资产波动性分析等领域得到了广泛应用。例如，Weise（1999）、Senda（2001）、Rothman et al.（2001）、Tsay（1998）和刘金全等（2001），等等。2005年，在解释变量和转移变量都是外生变量时，González，Teräsvirta和van Dijk（2005）率先研究了面板数据平滑转移回归模型（PSTAR模型）的设定、估计和检验方法。Gørgens，Skeels和Würtz（2009）考虑了含个体效应项的面板数据非线性动态模型的计量分析方法，其中重点研究了面板数据动态平滑转移回归模型的GMM估计方法。杨继生和王少平（2008）发现了一类新的广义矩条件，并提出了一种估计面板数据非线性动态模型的条件GMM估计方法。众所周知，尽管广义矩估计是一致的，但是，对于有限样本，GMM估计关于矩条件并不具有稳健性，即选择不同的矩条件时，GMM估计结果可能会有很大的差别。为此，在Gouriéroux et al.（2010）关于面板数据动态线性回归模型间接推断估计的基础上，本文提出了一种面板数据动态平滑转移回归模型的间接推断估计方法，以避免GMM估计的广义矩条件选择问题。并且，讨论了间接推断估计方法的有限样本性质。另外，基于1978～2010年中国29个省（市、自治区）的样本，建立面板数据动态平滑转移回归模型估计中国的菲利普斯曲线。

本文的结构如下，第一部分回顾了相关研究文献及其研究方法，并且简述了本文的研究动机，第二部分简要介绍了间接推断法的一般估计过程以及本文给出的估计动态面板平滑转移模型间接推断方法的具体步骤；第三部分根据蒙特卡洛模拟试验讨论了间接推断估计方法的有限样本性质；第四部分对中国的菲利普斯曲线进行了再估计；第五部分是本文的主要结论。

1.4.2 动态面板平滑转移回归模型的间接推断估计

间接推断（indirect inference）是一种基于模拟的估计方法，它的基本原理是：首先为难以直接估计的模型选择一个易于估计的辅助模型^[3]，然后寻找由原模型模拟数据与样本数据使辅助模型参数估计量“距离最小”的原模型参数，把该参数称为原模型基于样本数据的间接推断估计。

近年来，间接推断估计方法被广泛应用于含有隐变量模型、有缺失数据模型和非线性动态模型等模型，例如Monfort（1996）、Monfardini（1998）和Dridi 和 Renault（2000）分别研究了连续时间序列模型、随机波动模型和半参数模型的间接推断估计；Keane 和 Smith（2003）、Gouriéroux et al.（2010）以及Davidson（2011）分别提出了离散选择模型、面板数据动态线性回归模型和动态随机一般均衡（DSGE）模型的间接推断估计方法。本文将在面板数据动态线性回归模型间接推断估计（Gouriéroux et al.（2010）的基础上，讨论面板数据动态平滑转移回归模型的间接推断估计与非线性检验。

众所周知，经济体制结构的转移既可能缘于外生性冲击，也可能缘于内生性变化，例如，国家政治体制的更替和石油输出国的战乱等外生冲击不仅导致一国经济体制的结构性演化，而且一些内生经济变量也可能引起经济关系的结构性转移。因此，在讨论面板数据动态平滑转移回归模型的估计与检验时，有必要区分转移变量的内生性。为此，本文将分别讨论外生转移变量和内生转移变量的面板数据动态平滑转移回归模型的间接推断估计。

1.4.2.1 外生转移变量的面板数据动态平滑转移回归模型

对于不含外生控制变量的模型

其中，转移变量q_i，t是外生的，本文给出的具体估计过程如下：

（1）估计参数初始值

利用González（2005）的估计方法首先估计模型（1），即将模型（1）视为静态的PSTAR模型，分别得到α₁，α₂，γ和c的初始估计，，和；

（2）参数α₁和α₂的间接推断估计

首先保持和固定，记，此时模型（1）变为

y_i，t=η_i+α₁y_i，t-1+α₂y_i，t-1g_i，t+u_i，t　　　　　　（2）

并利用间接推断方法估计模型（2）的参数α₁和α₂。由于模型（2）本身比较简单，因此这里选择的辅助模型和原模型相同；具体的间接推断步骤为：

①将真实数据y_i，t和q_i，t带入模型（2），并记参数的组内估计为和，以及残差项的方差；

②从抽取M组随机样本，从分布F（正态分布或均匀分布）中抽取个体效应的M组样本，m=1，…，M；并保持这些样本在估计过程中不变；

③从［-1，1］中选取两个参数和，并利用步骤②中第m次生成的随机误差项和个体效应项，带入模型（1）得到内生变量的模拟样本y^s，m_i，t；再根据模拟样本y^s，m_i，t和q_it对模型（2）进行组内估计，记参数的估计为θ^s，m₁和θ^s，m₂，m=1，…，M；最后，设

④计算点和之间的距离；利用格点、退火或BFGS^[4]等方法选择使点和之间距离最小的和。并记此时的为、为；

（3）搜索参数γ和c。将和带入模型（2），然后对模型（2）中每个变量都做向前正交离差变换^［17］以消除固定效应项，并保证变换后模型的误差项不存在序列相关性，其中变量y_it做向前正交离差变换后为；然后，利用格点、退火或BFGS等方法寻找使残差平方和最小的γ和c，记做γ¹和c¹。

（4）重复步骤（2）和（3），得到，，γ²和c²，……，，，γⁿ和cⁿ，直至满足收敛条件的要求，并称最后一次迭代的参数估计值为模型（1）参数的间接推断估计。

一般地，对于包含外生控制变量的模型（1），如只含一个外生控制变量的模型

本文提出的估计过程如下。

（1）估计参数初始值

利用González（2005）的估计方法首先估计模型（3），即将模型（3）视为静态的PSTAR模型，得到γ、c和β的初始估计、和以及残差项的方差。

（2）参数α₁和α₂的间接推断估计

对于给定的和，记，得到辅助模型

①对辅助模型（4）的各个变量进行向前正交离差变换（消除固定效应项η_i），得到新的模型

记P=I-X（X′X）^-1X′，其中X=［x^*₁₁，x^*₁₂，…，x^*_1T，…，x^*_N1，x^*_N2，…，x^*_NT］′，将模型（5）左右两边变量都写成向量形式（按行排列），并左乘矩阵P，因为PX=0，则得混合回归模型

Py^*=α₁Py^*_-1+α₂P（yg）^*+Pu^*　　　　　　（6）

对于模型（6），可得到参数α₁和α₂的OLS估计值和；

②模拟生成数据，即给定一组参数和，并结合步骤（1）中估计的和，使用原模型（3）生成模拟数据y^s；

③类似于步骤①，对模拟数据以及y^s*g都做向前正交离差变换，然后转换成向量后再左乘矩阵P，并根据变换后的数据利用OLS估计变换后的辅助模型（6），记参数估计值分别为和。

④计算和之间的距离，利用BFGS等方法选择使距离最小的和，并记此时的为、为；

（3）估计参数γ和c

给定一组参数γ和c，将和代入模型（6），计算该模型的残差平方和，利用格点、BFGS或退火等算法寻找使残差平方和最小的γ和c，记做γ¹和c¹；

（4）重复步骤（2）和（3），直至满足收敛条件的要求，并称最后一次迭代的参数估计值为模型（3）参数的间接推断估计。

1.4.2.2 内生转移变量的面板数据动态平滑转移回归模型

对于内生转移变量的平滑转移模型（无论是否具有外生控制变量）的间接推断估计方法与有外生转移变量模型的估计类似，只是为了控制转移变量y_i，t-1整体水平，在间接推断估计的模拟数据生成过程中，截距项η_i直接使用González（2005）的静态估计值。

1.4.3 蒙特卡洛模拟分析

1.4.3.1 数据生成过程

（1）不含外生控制变量的数据生成过程

其中，α₁=0.8，α₂=-0.4，γ=4，c=3；η_i～N（0，1），u_i，t～N（0，1），i=1，…，N，t=1，…，T；并且，为了比较模拟实验的参数估计结果，在模拟过程中，设定η_i和q_it不变，模拟数据的随机性由误差项u_i，t驱动。

（2）含一个外生控制变量的数据生成过程

其中，α₁=0.8，α₂=-0.4，β=0.5，γ=4，c=3；η_i、q_it和u_i，t的数据生成过程同（1）中的设定。

（3）不含外生控制变量的数据生成过程

其中，α₁=0.8，α₂=-0.4，γ=4，c=2；η_i～U（-1，1），u_i，t～N（0，1），i= 1，…，N，t=1，…，T。

（4）含一个外生控制变量的数据生成过程

其中，α₁=0.8，α₂=-0.4，β=0.5，γ=4，c=2；η_i～U（-1，1），u_i，t～N（0，1），i=1，…，N，t=1，…，T。

1.4.3.2 蒙特卡洛模拟结果

对于上述四种数据生成过程（7）～（10），按照本文提出的间接推断估计方法分别估计模型；经300次重复（nrep=300）后，计算每种模型各系数估计值的平均绝对误差（MAE）和平均平方误差（MSE），即，计算

对于面板数据个体数和时期数的不同选择，模拟结果如表1～2所示。

表1 外生转移变量PSTAR模型间接推断估计的模拟结果评价

表2 内生转移变量PSTAR模型间接推断估计的模拟结果评价

从表1和表2的模拟结果可得出以下结果：

（1）随着样本容量的增加，参数的间接推断估计精度将提高。

例如，在试验1中，对于相同的个体数N=30，随着时期数的增加（从T=30增加到T=60）参数估计的MAE和MSE变小；同样，对于相同的时期数T=60，随着个体数的增加（从N=20增加到N=30）参数估计的MAE和MSE也变小。

（2）模型中包含外生控制变量比不含时参数的间接推断估计更精确。

例如，在N=30、T=60的试验中，试验2的MAE和MSE比试验1的更小。

（3）的估计比单独估计或者精度更高。

除表2中的估计比的更准确外，其他的都是估计的MAE和MSE比单独估计或者时的小。

（4）转移变量是外生变量时的估计比是内生变量时估计的更准确。

例如，对于N=30，T=60的试验，试验4估计转移变量临界值c的相对误差为0.1121/2=5.61%，而试验2估计c的相对误差仅为0.0533/3=1.78%。

1.4.4 应用：菲利普斯曲线的再检验

20世纪60年代以来，由于简单菲利普斯曲线与现实的偏离，Friendman将预期和自然失业率引入到菲利普斯曲线中，并根据奥肯定律得到Friedman的菲利普斯曲线模型

π_t=π^e_t+β（Y_t-Y^*_t）+ε_t。

之后，菲利普斯曲线又逐渐演化成前向预期、后向预期及其混合的新凯恩斯菲利普斯曲线。Gordon（1998）指出随着全球经济一体化的发展影响菲利普斯曲线的供给冲击因素似乎变得越来越重要。另外，关于菲利普斯曲线的实证研究，越来越多的学者关注非线性模型和面板数据的使用。例如Clark，Laxton和Rose（1996），Dolado，Maria-Dolores和Naveria（2005），Akerlof和Yellen（2006），Kim，Osborn和Sensier（2007）和Derek Stimel（2010）等文献建立了不同的非线模型检验菲利普斯曲线的非线性特征。近年来，国内对通货膨胀率的非线性特征也进行了深入研究，例如，王少平、彭方平（2006）运用ESTAR模型对通货膨胀率进行建模；胡日东、苏梽芳（2008）借助Hamilton随机场回归模型发现通货膨胀不确定性与通货膨胀存在非线性关系。刘金全等（2006）首先通过状态空间模型把通货膨胀预期分离出来，然后再运用Markov区制转移模型来检验不同的通货膨胀率预期状态，从而用来描述不同阶段菲利普斯曲线的种类和特征；欧阳志刚和韩士专（2007）运用门限协整模型来刻画菲利普斯曲线，并且使用逻辑函数来描述这种非线性特征。许冰和章上峰（2008）利用半参数模型识别中国的非线性菲利普斯曲线，并认为这种非线性性用三次多项式函数可以很好的拟合。同时，国内也有一些文献基于面板数据研究菲利普斯曲线，例如，章上峰和许冰（2009）从经济背景、模型设定和统计数据角度分析，并认为中国不存在时间序列意义上的菲利普斯曲线，利用1978～2006年的省级面板数据建立混合面板数据模型对菲利普斯曲线进行了再估计。吕岳和盛斌（2011）采用2001～2009年中国各省的季度数据分别使用前向、后向和混合菲利普斯曲线对开放条件下产出缺口型的菲利普斯曲线进行了再验证，认为混合型菲利普斯曲线能更好地解释中国的价格波动。赖小琼和黄智淋（2011）根据中国1978～2008年31个省区市的年度数据，采用分地区、分产业、分时段的动态面板数据模型检验菲利普斯曲线。

1.4.4.1 菲利普斯曲线模型设定

本文将菲利普斯曲线实证检验文献中的“非线性”和“面板数据”两方面的计量技术相结合，在适应性预期^[5]的条件下，利用面板数据动态平滑转移回归模型对菲利普斯曲线进行再检验。另外，考虑到供给冲击、需求冲击以及我国各区域的经济资源禀赋、宗教信仰和教育水平等不可观测的非时变地缘经济因素的差异，本文设定的计量经济模型是

其中，z1表示供给冲击，产出缺口gap表示需求冲击。

1.4.4.2 数据来源和变量选取

本文中1978～2010年29个省（市、自治区）^[6]的GDP、CPI以及进出口数据来源于《新中国六十年统计资料汇编》《中国统计年鉴2010》《中国统计年鉴2011》，CRB指数来自于WIND数据库。通货膨胀率、需求冲击和供给冲击的计算公式如下：

其中，本文采用GDP中HP滤波后的趋势部分^[7]表示潜在产出GDP^*_i，t；对于供给冲击，本文使用了吕越和盛斌（2011）的定义，即首先将CRB指数的滞后一期与各省市的外贸依存度（进出口总额/GDP）相乘得到外部冲击指数，再将该指数的变化率作为供给冲击变量。

1.4.4.3 非线性性检验

为了说明菲利普斯曲线模型设定的合理性，须首先对非线性零假设

H₀：γ=0，或H₀’：β₁=0

进行统计检验。

由于在原假设下存在不可识别的冗余参数，借鉴González（2005）的方法把转移函数g用其关于γ的一阶泰勒展开近似，即等价于检验辅助模型

π_i，t=η_i+φ′₀x_i，t+φ′₁x_i，t*q_i，t+…+φ′_mx_i，t*q^m_i，t+u_i，t

其中x_i，t=（π_i，t-1，π_i，t-2，z1_i，t，gap_i，t）^T

于是，线性性检验的零假设等价于假设

H₀：φ′₁=φ′₂=…=φ′_m=0

特别，当m=1时，得到零假设和备择假设下的模型分别是

π_i，t=η_i+α₁π_i，t-1+α₂π_i，t-2+β₁z1_i，t+β₂gap_i，t+u_i，t　　　　　　（12）

和

π_i，t=η_i+（θ₁π_i，t-1+θ₂π_i，t-2+δ₁z1_i，t+δ₂gap_i，t）+（θ₃π_i，t-1+θ₄π_i，t-2+δ₃z1_i，t+δ₄gap_i，t）*q_i，t+u_i，t　　　　　　（13）

检验统计量为似然比统计量

其中，S₀为模型（12）的残差平方和，S₁和为模型（13）的残差平方和以及残差项方差。

并且，采用间接推断方法^[8]估计模型（12）和（13）。由于此时模型存在内生性，得到的LM统计量不具有标准分布，因此本文参照Hansen（1999）的方法通过Boostrap方法得到LM统计量的临界值。当选择内生转移变量gap_i，t-1时，LM统计量的检验结果见表3。

表3 线性性检验结果

从表3的检验结果可见，LM检验统计量大于临界值，所以拒绝零假设，因此建立非线性模型是恰当的。

1.4.4.4 模型估计

如果用间接推断方法估计线性模型，得到的结果

而使用第二部分的间接推断方法估计模型（11）得

其中，括号内为参数的标准差，并且外生变量z1和gap的标准差来自于模型初始估计的标准差，π_i，t-1，π_i，t-2和c的标准差是使用Bootstrap的方法计算而得，具体过程如下：

（1）对所有面板数据变量（时间长度为T，个体维度为N）的个体维度进行容量为N的放回抽样，得到各变量的自举样本，分别记为π^*，z1^*和gap^*；

（2）用自举样本估计模型参数；

（3）以上步骤（2）-（3）独立重复B次，得到，，…，；

（4）基于得到的B个参数的估计值计算参数的标准差，其计算式为

其中，。

从模型的估计结果（14）～（15）可以看出，线性模型的参数都在非线性模型参数的变化范围之间。例如线性模型中变量π_i，t-1前面的系数为0.7775，而在非线性模型中π_i，t-1前面的系数变化从0.3747到0.8954（=0.3747+0.5207），因此，线性模型只是非线性模型的一个特例，用非线性模型比线性模型更能反映实际情况。

另外，从模型（14）的估计结果（15）也可以得到通货膨胀的适应性预期

特别，对于两种极端的转移函数g=0和g=1情况，通货膨胀的适应性预期分别为

π^e_t=0.3747π_t-1-0.1219π_t-2

和

π^e_t=0.8954π_t-1-0.3666π_t-2

图1 转移函数

显然，膨胀率预期和通货膨胀率随着产出缺口的变化而变化，当其他变量保持不变时，转移变量产出缺口gap_i，t-1增加时，通货膨胀率π_it增加，产出缺口gap_i，t对通货膨胀率的影响也在增加，供给冲击z1对通货膨胀的影响由减少通货膨胀变为增加通货膨胀。

转移函数的拐点为gap_i，t-1=0.016，当gap_i，t-1＜0.016时，转移函数值增加的速度很快，当gap_i，t-1＞0.016时，转移函数值增加的速度逐渐变慢，如图1所示。

1.4.5 主要结论

本文提出了含有不可观测个体效应的面板数据动态平滑转移回归模型的间接推断估计方法，从而避免了广义矩条件的选取。通过蒙特卡洛模拟实验讨论了这种估计方法的可行性，特别，对于较大的面板数据（时间维度或个体数较大）、或者存在外生控制变量时，间接推断估计的精度显著提高。另外，本文通过非线性检验拒绝了菲利普斯曲线的线性形式，从而用面板数据动态平滑转移回归模型建模，实证分析发现菲利普斯曲线的拐点位于转移变量（即产出缺口）等于0.016的位置，并且随着转移变量值的增加，产出缺口对通货膨胀的影响在增加，供给冲击对通货膨胀的影响也从负变为正。

参考文献

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［14］赖小琼，黄智淋.2011.基于动态面板数据的中国菲利普斯曲线稳健性分析. 当代财经，3：12～21。

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[1] 本文获国家自然科学基金项目（70771072）和国家教育部人文社科项目（11YJA790003）的资助。

[2] 宋涛，男，1987年生，天津财经大学统计系2010级研究生；刘随随，女，1988年生，天津财经大学统计系2010级研究生；白仲林，男，天津财经大学统计系教授，博士生导师，中国数量经济学会理事。

[3] 一般选择的辅助模型不必完全正确设定。

[4] 本文使用Byrd et al.（1995）提出的L-BFGS-B方法用于解决有约束的非线性最优化问题。

[5] 使用滞后两期通货膨胀率的加权表示对通货膨胀率的适应性预期。

[6] 不包括海南省和西藏自治区。

[7] HP滤波的参数λ取100。

[8] 线性模型的间接推断算法见文献Gouriéroux et al.（2010）。