1.3 改进的SS检验及其在固定效应模型和截面相关模型的斜率异质性检验中的应用

徐凤^[1]

摘要：本文研究了截面相关模型及固定效应模型和截面相关模型的斜率异质性检验。首先，我们对Sakata2010年提出的针对多种模型的参数常数性检验（简称为SS检验）进行改进，提出了SS_s检验，基于数理推导可以看到该检验具有渐近正态性。其次，将SS_s检验应用于截面相关模型及固定效应模型。最后，通过Monte Carlo实验，SS_s检验在有限样本下都具有良好的水平和势。相较于PY检验（Pesaran和Yamagata（2008）），SS_s检验可用于截面相关模型及固定效应模型，尤其是内条件异方差和截面数n远大于时间T的情形。

关键词：SS检验 固定效应 截面相关

1.3.1 导论

在许多面板数据模型的应用研究中，通常假设所关注的斜率系数在各截面间保持相同，即斜率系数的同质性假定。同质性假设非常地便利，使得人们可以充分地利用联合估计的优势（比如联合估计量的有效性等等）。但是在某些时候同质性的假定并不能被实际数据所支持，比如Durlauf 和 Quah（1999）在研究经济增长和收敛时，就发现不同截面间的重要参数从经济理论来讲极有可能是不同的。如果不同截面间斜率呈现异质性却仍然做出同质性假定，将会导致错误的估计和无效的推断（Hsiao（2003），Baltagi，Bresson 和 Pirotte（2008））。

关于斜率同质性检验的文章有很多，Pesaran，Smith和Im（1996）提出使用Hausman检验比较标准的FE估计量和组均值估计量。Phillips和Sul（2003）在考虑存在截面相关的AR（1）面板数据的系数的同质性检验时也提出了使用Hausman检验。Kapetanios（2003）提出使用已有检验探测部分截面同质性的算法。PY（Pesaran和Yamagata（2008））提出对Swamy检验统计量进行改进得到PY统计量以检验带有固定效应和无条件异方差的面板数据的异质性。Blomquist（2010）提出了PY统计量的bootstrap形式，并且表明该统计量对一般形式的截面相关和序列相关是稳健的。Sakata（2010）提出了针对多种模型的参数常数性检验（简称为SS检验）。Lin（2010）对SS检验进行改进提出了针对固定效应一阶差分估计量的方差的线性面板的一种异质性检验方法。Ted Juhl和Oleksandr Lugovskyy（2010）提出了基于条件拉格朗日乘数的异质性检验的方法。Jin和Su（2011）对带共同因子误差结构的非参数面板模型提出了基于sieve估计的异质性检验方法。Liangjun Su和Qihui Chen（2011）在拟合优度R²统计量的基础上提出了带有互动式固定效应大维面板数据的异质性检验方法。

综观现有的文献，大部分讨论异质性检验都不能用于截面相关模型。那些已有的涉及截面相关模型异质性检验的文章对T都有一定的要求，而对T很小特别是T远小于截面数n的情形探讨不够。另外，组内条件异方差大大地影响斜率异质性检验的水平，因此构造关于组内条件异方差稳健的斜率异质性检验统计量也是一个很重要的问题。

针对以上问题，本文通过改进SS检验（Sakata（2010）），构造了SS_s检验。数理推导发现该检验具有渐近正态性。进一步地，我们发现SS_s可用于截面相关模型及固定效应模型的斜率异质性检验。且通过Monte Carlo实验，可以看到在T远小于截面数n和存在组内条件异方差的情形下都具有很好的水平和功效。出于研究的兴趣，我们这里所用的截面相关模型具体的是潜在的共同因子模型。

本文的内容安排如下：第一部分是导论；第二部分是改进的SS检验及其定效应模型中的应用；第三部分是Monte Carlo实验；第四部分是结论及展望。

1.3.2 线性面板模型的SS检验简介及其改进

1.3.2.1 基本的假设和定义

由于统计量所涉及不同截面的分布极有可能是不同的，且考虑了组内条件异方差的存在，为了得到检验统计量的一致性和渐近正态性，类似于Markov大数定理和Liapounov中心极限定理中对矩的要求。Sakata（2010）提出了LB（r）可测函数的定义，具体的

定义1：给定假设1，设f（·，·）为一可测函数，如果满足以下条件：

（a）对θ₀∈Θ₀，{|f（X_i1，θ₀）|}_i∈N是一致L_r有界的。

（b）存在一连续非负实函数h和一维的Borel可测函数d。其中，当y→0时，h（y）→0，且{d（x_i）}_i∈N是一致L_r有界的。对任意的θ₁，θ₁∈Θ₀和x∈R^v，有|f（x，θ₂）-f（x，θ₁）|≤d（x）h|θ₂-θ₁|

则称f是LB（r）的，其中r∈［1，∞）。

假设1：假设每个样本是独立的。且对任意的t=1，…，T，u_it|X^t_i～（0，σ²_i（X^t_i）），对s≠t有E［u_itu_is|X^t_i］=0，其中X^t_i=（x_i1，…，x_it）。

假设2：对某些δ∈（0，∞），q_it=e²_it，x′_itx_it和x′_itu_it分别是LB（1+δ），LB（2+2δ）和LB（4+4δ）的。

1.3.2.2 线性面板模型的SS检验

Sakata（2010）提出了检验不同截面间参数为常数的方法——SS检验，该检验尤其适用于T远比N小的情形，T甚至可以小到2。SS检验基于截面的平均得分，可适用于不同的模型，只要求在参数为常数的零假设下能够得到准确的M估计量，而不必估计每个个体的参数。SS检验基于零假设下截面的得分均值，且对存在组内条件异方差是稳健的。下面仅以线性面板模型为例介绍SS检验^[2]。

考虑线性面板数据模型

y_it=x′_itβ⁰_i+u_it，　　i=1，…，n，t=1，…，T　　　　　　（1）

假设不存在任何的截面相关性，并设N=n×T。x_it是k×1维的回归变量，β_i是k×1维的斜率系数。

斜率异质性原假设为

备择假设为

H₁∶β_i≠β^*，对某些i

设q_it（β）=-1/2（y_it-x′_itβ⁰_i）²，在零假设H₀下，对所有的i，▽q_it（β^*）=x_itu_it，进而E［▽q_it（β^*）］=0。另一方面，在备择假设下，对某些i，E［▽q_it（β^*）］≠0。而实际的应用中往往只关注部分几个而非所有的系数，为此，令s_it（β^*）表示▽q_it（β^*）的前m个元素（0＜m＜k）所构成的向量。在零假设H₀下，E［s^*_it］=0，其中s^*_it≡s_it（β^*）。但基于E［s^*_it］的检验很难实现，这是由于基于较小的T难以得到令人满意的E［s^*_it］的估计量。另一方面如果考虑使用其平均值N^-1∑ⁿ_i=1TE［s^*_it］也没用，因为无论H₀是否为真，该平均值也可能为零。为了克服以上的困难，Sakata使用了E［s^*_it］二次形式的加权平均，其中W可以是任意的正定矩阵。在零假设H₀下α_n（β^*，W）=0，在备择假设H₁下α_n（β^*，W）＞0。基于这一事实，检验是否拒绝H₀变为检验α_n（β^*，W）是否大于0，下面考虑α_n（β^*，W）的估计。

由于

其中

它们的一致估计量分别为

其中。

代入（2）中，用和分别代替β和和W则有α_n（β^*，W）估计量为

其中是回归方程（1）中共同的斜率系数的一致的联合估计量。是依赖数据的权重矩阵，通常用的逆作为权重矩阵，这样的好处是可以消除组内异方差。

进一步地，对标准化得到斜率异质性检验的统计量

其中，是方差V_n的一致估计量。

而

其中，

分别是α_n（β^*，W）的二阶导

和一阶导数

的一致估计量。

在假设1和假设2下，Sakata（2010）证明了当N→∞而T固定时，零假设下的统计量。

这里值得注意的是（3）式的一致性依赖于▽s_it（β^*）没有序列相关的存在。

为了更好地说明这一问题，可以假设s≠t时E［s_it（β）s_is（β）′］≠0。从而（3）式的第二项变为

若使用（3）式来估计Σ_n（β）则是有偏的，从而导致整个检验的失效。

1.3.2.3 SS检验在截面相关模型及固定效应模型中存在的问题^[3]

SS检验可用于截面独立的线性面板数据斜率异质性的检验，于是一个很自然的想法就是对于截面相关模型将截面相关的因素比如共同因子去掉之后再进行斜率系数的异质性检验，但是经过下面的分析我们发现并非如此。同样对于固定效应模型，冗余参数是一个问题，但去掉冗余参数之后SS检验也不能直接使用。

（1）截面相关模型

我们这里只考虑带因子误差结构的面板数据模型

y_it=x′_itβ_i+e_it，　　i=1，…，n，t=1，…，T　　　　　　（4）

e_it=λ′_if_t+ν_it，　　ν_it～iid（0，σ²_vt）　　　　　　（5）

x_it有可能与f_t相关，因此我们假设

x_it=μ_i+Γ′_if_t+ω_it，ω_it～iid（0，σ²_ωt）　　　　　　（6）

其中，f_t是r×1维向量表示不可观测的共同因子效应，假设f_t是宽平稳的，且E（‖f_t‖⁴）＜∞，E（f_tf_t′）=Σ_F＞0。λ′_i与Γ_i是因子载荷，假设为非随机的，且‖λ_i‖＜∞，‖Γ_i‖＜∞。ν_it与f_t，ω_it是相互独立的，且可能具有序列相关和组内异方差。

令ν_i=（ν_i1，…，ν_iT）′y_i=（y_i1，…，y_iT）′x_i=（x′_i1，…，x′_iT）′F=（F′₁，…，F′_T）′，ν_i=（ν_i1，…，ν_iT）′。则（4）式可以写为

y_i=x_iβ_i+Fλ_i+ν_i，　　i=1，…，n…　　　　　　（7）

为了检验斜率异质性，我们考虑先将截面相关消除掉，具体的，设M_F=I_T-F（F′F）^-1F′，对（7）式两边同时左乘M_F，由于M_FF=0，得到

其中，，。设定，，，则（8）式的元素形式为：

对（7）式的斜率异质性检验等同于对（9）式进行斜率异质性检验。虽然扰动项不具有截面相关，但序列相关是极有可能存在的。为了说明这一点考虑

上式的成立使用了ν_it与f_t的独立性。由于M_F是非对角的因此极有可能是非对角阵，即s≠t时。从而很有可能具有序列相关性，如果对（9）式构造SS检验，对应▽s_it（β^*）极有可能存在序列相关的问题，从而会得出错误的结论。

（2）固定效应模型

2011年林常青将SS检验应用于固定效应的面板数据模型中，为了消除固定效应中的冗余参数而使用一阶差分的方法。然而，在应用在中我们通常使用within算法来计算斜率系数，而within算法的去组均值过程会带来序列相关，使用SS算法来检验斜率异质性必然带来水平的扭曲（这一点可以通过Monte Carlo模拟来验证，限于篇幅的原因没有将实验的结果附上）。下面考虑固定效应模型

y_it=α_i+β′_ix_it+ε_it，i=1，…，n，t=1，…，T　　　　　　（10）

其中α_i是常数，表示个体的异质性。

首先对（10）做去组均值得到

其中，，，，，。

由于

因而也不能不能用SS检验（11）式的斜率异质性检验。

1.3.2.4 改进的SS检验——SS_s检验

可见SS检验应用于截面相关模型和固定效应模型是不可行的，需要对其进行改进。之前分析可以看到序列相关的存在会使得（3）式是有偏的估计量。为了解决这一问题，在样本方差的基础上做修正以估计Σ_n（β）

进而得到

相应的

方差V^w_n的一致估计量为。

对标准化可得SS_s检验统计量为

参照Sakata（2010）的证明思想可以得到下面的定理。

定理1：若假设1-2成立，当N→∞而T固定时，H₀下的统计量。

1.3.3 Monte Carlo模拟

我们考虑3个回归便量，即β_i=（β_1i，β_2i，β_3i）′，设定。在考虑有限样本的水平时设，而考虑有限样本的势时设。这里我们考虑n=（100，200，300）而T=（5，8，10，20）的情形（由于样本太大计算机的内存不够因此这里没有采用太大的样本），实验均重复1000次。

1.3.3.1 截面相关的斜率异质性检验

对（4）式具体考虑2个回归变量和三个共同因子：

共同因子f_jt具有一阶自回归即AR（1）的形式，具体的

f_jt=ρ_fjf_jt-1+υ_fjt，j=1，2，3，t=-49，…，0，…，T

其中，ρ_fj=0.5，f_j，-50=0，j=1，2，3。

扰动项ν_it的产生采用如下形式

前面一半的截面由AR（1）过程产生

ν_it=ρ_iνν_i，t-1+σ_i（1-ρ²_iν）^1/2ζ_it，i=1，2，…，［N/2］

后面一半的截面由MA（1）过程产生

ν_it=σ_i（1+θ²_iν）^-1/2（ζ_it+θ_iνζ_it-1），i=［N/2］+1，…，N

其中，，而，。这样扰动项ν_it既具有序列相关也具有异方差。

而回归变量的扰动项，m=1，2。

常数项，，i=1，…，n，m=1，2

因子载荷的产生是参照Pesaran2006年的文章

在进行该模型的斜率异质性检验时我们采用的是Pesaran（2006）提出的截面平均（CA）估计量来代替F。具体的，令z_it=（y_it，x′_it），，t=1，…，T。则。

由于数据产生的复杂性，对于截面相关模型我们没有模拟扰动项存在组内条件异方差的情形，对于这种情形我们会在固定效应模型中考虑这一点。

1.3.3.2 固定效应模型的斜率异质性检验

考虑（10）式的数据产生过程，其中x_it=（x_1，it，x_2，it，x_3，it）′是3×1维的回归变量，x_it～N（0，I_3×3），ε_it～N（0，σ（x_it））在不同的截面和不同的时间上是独立的。

具体地，我们的模拟基于一下两种设定：

同方差：对所有的i和t，α_i～N（0，1），σ（x_it）=1

异方差：对所有的i和t，α_i～N（0，1），u_it=e_itx_1，it，，σ（x_it）=x²_1，it。

为了比较，我们列出了Pesaran和Yamagata’s（PY）检验的结果。

值得注意的是当N或T充分大时，H₀下使用within算法计算得到的的收敛速为，而，因此在这种情况下近似的有

这样做的好处就是可以大大的简化计算，使得检验更加可行。

表1 截面相关下的斜率异质性检验的水平（名义水平为5%）

表2 截面相关下的SS_s检验的功效（名义水平为5%）

表3 同方差下固定效应模型异质性检验的水平（名义水平为5%）

表4 异方差下固定效应模型异质性检验的水平（名义水平为5%）

实验结果表明：

（1）在同方差中SS_s统计量和PY统计量在水平和功效方面的表现一样好。

（2）而存在组内条件异方差时，相对于PY统计量，SS_s统计量在水平和功效方面的很好。这表明SS_s统计量既能用于固定效应within算法的斜率异质性检验，又继承了SS检验对于组内条件异方差的稳健性。

（3）对于截面相关下斜率异质性的检验，SS_s检验在水平和功效上都均具有较好的表现，因此在实践中具有一定的应用性。

（4）SS_s检验基本不受回归变量个数的影响（这一点可以通过实验来验证，由于篇幅的原因这里没有列出），这一点比PY检验更具适应性。

（5）SS_s检验在T远比n小的情形下也有很好的水平和功效，具体可见T=5和T=8是的结果。当然在截面相关模型中SS_s检验在T=5的时候表现不是很好，这可能是由于在去掉共同因子的过程所导致的，具体的情况尚需要进一步的研究。

1.3.4 结论与展望

本文基于SS检验提出了适用于截面相关模型和固定效应模型的斜率异质性检验。由于原始的SS检验在存在有序列相关时会导致检验的失效，因而不能直接用于截面相关模型和固定效应模型的斜率异质性检验。鉴于此我们对SS检验进行修正提出了SS_s检验。研究表明SS_s检验在截面相关模型和固定效应模型中具有良好的表现。该检验只需要计算零假设下的参数而不需备择假设下的原假设，基本不受回归变量个数的影响，且适用于T远比n小的情形。另一方面SS_s检验也继承了SS检验对组内条件异方差的稳健性。因此SS_s在检验截面相关模型和固定效应模型的斜率异质性时具有很好的可行性。

当然本文也有一些缺陷，比如限于计算机内存的原因没有考虑更大的样本容量。另外，我们的实验也发现该检验对中等程度及以上的异质性具有较好的功效，而对于较小的异质性的检验功效很低，比如在随机系数模型（RCM）中检验功效非常的低。我们今后的工作就是尽量晚上以上在这方面的问题。

参考文献

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［14］Pesaran M H. 2006. Estimation and inference in large heterogeneous panels with a mul-tifactor error structure. Econometrica，74：967-1012.

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[1] 徐凤，女，1979年4月出生，中国数量经济学学会会员，西南财经大学统计学院在职博士，西南财经大学经济数学学院讲师。

[2] 我们这里只考虑平衡面板情况，对于非平稳面板该统计量同样适用。

[3] 由于这里的T小而N大，只考虑组内异方差，而组间同方差的形式。