1.4　研究的方法和技术路线

1.4.1　研究方法

本书运用理论分析、数学方法建模、解析式推导、数值计算、仿真模拟相结合的方法进行研究。首先对研究对象进行定性分析，找出主要的影响因素，并结合实际情况和模型求解的难易性，在模型假设过程中，对研究对象的主要因素进行适当又不失真的量化，提出便于数学处理的同时又合乎经济学常识的模型假设，在此基础上，建立研究对象的动态优化模型。在模型求解过程中，运用动态随机分析、最优停时理论、随机控制理论进行解析推导，通过有限差分法得到数值计算、仿真模拟结果从而得到各因素之间的数量关系。在对数值结果进行理论分析过程中，基于管理科学和经济学理论，经济直观、数学直观和严格论证相结合，绘制图表从不同角度解释各因素之间的依存和变化规律，进一步掌握各因素变量的定性关系。

1.4.2　研究的技术路线

（1）基本思路。为阐明基本思路，这里从投资方角度，考虑一个简单的或有可转换债券的消费效用无差别定价问题。假设公司资本结构由股权、或有可转换债券和普通可违约债券组成，公司资产价值（公司收益流）是可观测的随机过程，且公司资产（收益流）不可交易，当公司资产价值低于某个临界水平时，要求或有可转换债券按事先约定一次性转换为股权，否则得到固定的息票收入。由于公司资产（收益流）不可交易，这个市场是不完备的，投资者购买或有可转换债券必须承担风险，但可以通过交易无风险资产（银行储蓄）和市场风险资产（市场组合）来部分对冲风险和平滑消费。对于给定的CARA效用函数，如果对某个给定的或有可转换债券的价格，购买和不购买或有可转换债券的无限生命期的期望消费总效用相等，则这样给定的或有可转换债券的价格即为消费效用无差别价格。为了得到这样的无差别价格，需要求解两个最优控制问题。当然本书还要考虑税收、破产成本、资本结构和投资者保护水平等问题，转换方式和转换条件也会有所变化。但直觉上，以上阐述的简单的模型，通过对比分析，也可以发现风险回避与风险中性导致的或有可转换债券的重大差别。

（2）模型建立。本书首先给定一个赋有投资者信息流的、足够大的概率空间，用来描述金融管理活动中的所有随机现象，比如，随机信息源是连续的布朗运动。本书所属研究领域的经典文献有Merton（1974）、Black and Cox（1976）、Leland（1994），这些经典文献为本书的研究思路提供了重要参考。经验和理论表明，消费效用无差别定价是一个适用范围最广的定价，但由于它是一种非线性定价，一般不能得到解析解，数值计算也比较复杂。为此，遵循从简单到复杂的原则，建立一个马尔科夫齐次的信用风险模型，同时假设投资者具有CARA效用，这样就可以消除时间和流动性财富两个状态变量，从而使由值函数得到的HJB方程减少了两维，有利于计算和模型分析。

（3）模型求解。无论对于或有可转换债券定价还是最优资本结构问题，最优化模型的求解都至关重要。对此，我们将采取以下办法：①使用最优控制理论和最优停时理论对最优决策和价值函数进行理论求解，从而得到价值函数的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程以及相应的（自由／固定）边界条件以及控制方程的一阶优化条件。②原问题的HJB方程是二阶的非线性偏微分方程，很难得到解析解，若采用CARA型效用函数（指数效用函数），则指数效用函数的与财富无关性和价值函数的齐次特性可消去流动性财富对方程的影响，从而使得HJB方程降维，即模型的解与流动性财富无关，降维后得到半闭式解，即将二阶非线性偏微分方程转化为与公司资产价值（公司收益流）相关的一阶非线性常微分方程，此方法参考Miao and Wang（2007）[7]。③用有限差分方法对带有固定／自由边界的常微分方程做数值计算。

（4）模型检验、比较静态分析和经济管理学启示。通过选取适合的、符合常理的参数，对模型和计算结果进行检验，并以此进一步检验“消费效用无差别定价”的可行性和有效性。例如，当市场完备时，是否风险厌恶系数对资产和定价不再产生影响。又如，当效用函数是线性的，是否得到相应的风险中性结果。比较计算结果和最初的理论分析，给出合理的解释。进而分析数值模拟结果的经济学意义，提出或有可转换债券的设计和建议。