2.6 MIMO系统框图与传递函数矩阵
前文讨论了单输入单输出系统的传递函数及其简化方法。可以将这种定义与简化方法推广到多输入多输出线性系统的每一对输入与输出关系上。当用矩阵表示这些关系时，就得到了MIMO（Multi－Input and Multi－Output）系统的框图及其对应的传递函数矩阵。
2.6.1 传递函数矩阵定义及其输入输出关系
如图2-47所示的双输入双输出的MIMO系统。图中各传递函数Gij（s）均是按照单输入单输出系统定义的输入j对输出量i间的传递函数。
由图2-47，由于是线性系统，由叠加性，系统输入输出的拉氏变换关系是
图2-47 双输入双输出的线性系统
写成矩阵就是
式中
分别称为输出向量和输入向量，而G（s）∈C2×2称为传递函数矩阵。
更一般地，当MIMO线性系统有m个输入、n个输出时，对每个输出量有
式中，i＝1，2，…，n。式（2-39）用矩阵表示依然是式（2-38），其中
这里，G（s）就是传递函数矩阵，但它不能理解为输出拉氏变换与输出拉氏变换的比。
为简便计算，形如图2-47的多输入多输出线性系统的框图可简化为广义框图，如图2-48所示。应注意的是，广义框图的粗箭头代表向量信号。不失一般性，广义框图也采用和标量框图一样的图例方式。
例2-10 试导出图2-49所示双输入单输出线性系统的传递函数矩阵，图中信号和环节均为标量关系。
图2-48 一般MIMO线性系统的广义框图
图2-49 例2-10的框图
解：这是双输入单输出的MIMO系统，参考输入R（s）对输出间的传递函数为
干扰输入D（s）与输出之间的传递函数是
于是，传递函数矩阵是
2.6.2 MIMO系统的基本联接形式
（1）串联
如图2-50所示的串联MIMO系统。其中，U（s）∈Cm，Y（s）∈Cn，Y1（s）∈Ck，由式（2-38）有
Y（s）＝G2（s）·Y1（s）＝G2（s）G1（s）·U（s）
于是，U（s）与Y（s）之间的传递函数矩阵
即串联的MIMO系统传递函数矩阵等于各MIMO系统的传递矩阵自后向前左乘。注意，式（2-40）的矩阵乘积顺序不可颠倒。
（2）并联
如图2-51所示系统，其中U（s）∈Cm，Y（s）∈Cn
图2-50 串联MIMO系统
图2-51 并联的MIMO系统
显然有
Y（s）＝Y1（s）+Y2（s）＝G1（s）U（s）+G2（s）U（s）＝［G1（s）+G2（s）］U（s）
即并联MIMO系统的传递函数矩阵有
G（s）＝G1（s）+G2（s）
即并联MIMO系统传递函数矩阵等于各子MIMO系统传递函数矩阵的和，这里的框图并联是在各子系统的输入输出向量维数相同的意义下建立的。
图2-52 反馈MIMO线性系统的框图
（3）反馈回环
如图2-52所示系统。其中，U（s）∈Cm和Y（s）∈Cn。显然，有
Y（s）＝G（s）·E（s）＝G（s）［U（s）－B（s）］
＝G（s）［U（s）－H（s）Y（s）］
整理后，就有
［I+G（s）H（s）］Y（s）＝G（s）·U（s）
其中，I为适当维数的单位矩阵。
若矩阵［I+G（s）H（s）］非异（对所有s∈C，det［I+G（s）H（s）］不恒等于零意义），对上式两边左乘［I+G（s）H（s）］－1后，闭环传递函数矩阵为
2.6.3 广义信号流图与MIMO系统简化
MIMO系统由于包含多个输入输出关系，其结构更为复杂，对其进行简化非常困难，但是将MIMO系统框图用广义框图表示合并分析时，分析过程与SISO系统的分析过程及结论是类似的，同样可以借助信号流图来分析。
（1）广义信号流图定义
将信号流图的节点对应于向量，支路增益记为节点间的传递函数矩阵，则所得到的信号流图就是广义框图的广义信号流图。各种术语与前述信号流图相同，不再重复。
（2）MIMO系统的梅森公式
利用梅森公式对系统进行简化，MIMO系统首先应该以信号流图方式表示。将MIMO系统转化成广义信号流图可直接套用前述的方法，其代数方程组的求解本质也没有变化。所以，剩下的只是对梅森公式在MIMO系统应以什么形式表达的问题。
考虑如图2-53所示的广义信号流图。
图2-53 MIMO线性系统的广义信号流图
图中，U（s）∈Cm和Y（s）∈Cn。由信号流图叠加性，输入节点向量与输出节点向量的某元素j间有（省去变量“s”）
其中，j＝1，2，…，n；写成Y（s）的向量形式，则有
这说明，由广义信号流图得出的Y（s）和U（s）间的传递矩阵是
以下是关于式（2-42）的几点说明。
● Δ同式（2-31）的区别仅在于计算时要考虑各对标量输入Ui（s）与输出Yj（s）之间的全部前向通道与回环的情况。
● 式（2-42）的要素（·）ij表示从第j个标量输入到第i个标量输出间，各种前向通道增益与对应去掉该通道的信号流图的Δ值。
● 可按式（2-31）直接由广义信号流图求出，因为信号流图中线性叠加性依然成立。
2.6.4 系统耦合的定义与意义
如图2-54所示的具有单位负反馈的双输入双输出系统。
图2-54 具有单位负反馈的双输入双输出系统
若记
则系统的闭环传递函数矩阵是
这里，对角线元素GBii（s）为第i个（i＝1，2）输入信号对第i个输出信号的传递函数；而非对角线的GBij（s）为第j个输入对第i个输出（i，j＝1，2，i≠j）信号间的交叉关系。系统解耦就是设法消除交叉信号关系。从矩阵来说，就是使闭环传递函数矩阵变为对角线矩阵，即
显然，MIMO系统对角化解耦只有在输入输出变量个数相同时才有意义。
2.6.5 系统解耦方法一——对角化解耦
对角化解耦是严格数学意义上的解耦，该法包含多种类型。这里只介绍串联调节器解耦方法，其他诸如反馈解耦等，读者可举一反三。
考虑如图2-55所示MIMO系统，Gc（s）是串联调节器的传递函数矩阵。
图2-55 利用串联调节器的解耦
在加入串联调节器Gc（s）之前，系统闭环传递函数矩阵为
GB（s）＝［I+G（s）H（s）］－1G（s）
加入串联调节器Gc（s）后的闭环传递函数矩阵应达到解耦的形式，即
式中，r为输入信号的个数，从而所加串联调节器满足
例2-11 双输入双输出系统如图2-56所示，试设计串联调节器使得系统闭环解耦成为
图2-56 例2-11的双输入双输出系统框图
解：由图2-56可知
于是，由式（2-43），串联调节器应满足
其中，Gc11（s）和Gc22（s）为PI调节器，而Gc21（s）为PID调节器。
注意到，这种解耦方式是没有考虑系统受到干扰情况下的结果。如果系统有干扰，则系统的某些特性将变成不可控的。另外值得注意的是，利用这种方法设计的解耦调节器有时可能是物理不可实现的，甚至会造成闭环系统不稳定。
2.6.6 系统解耦方法二——对角优势化解耦
对角化解耦虽有严格数学意义，但这种解耦控制器往往是不可实现的或是没有必要的。为此人们提出对角优势化解耦方法，即对传递矩阵G（s），设计控制器Gc（s），使解耦后传递函数矩阵的对角线元素作用比非对角线元素强得多，形成对角线传递特性优势效果。