2.5 SISO系统框图与传递函数

当控制系统只有一个标量的控制输入量和只有一个标量的观测输出量时，通常称其为具有标量的输入输出系统，或简单地记为SISO（Single－Input and Single－Output）系统。

2.5.1 框图的定义与绘制

由控制系统各环节标注组成并标明信号流向的结构图称为框图，如图2-7所示。

系统框图绘制的步骤如下。

● 以典型环节或典型环节的组合取代系统中的元器件、设备。

● 将各环节传递函数填入各自的方框内，并标出环节的信号流向箭头。

● 按信号流向方向与路径，把各环节的框图连接起来，即得系统框图。

2.5.2 框图的基本联接形式

控制系统框图的基本联接方式如下。

1）串联，如图2-8所示。

显然有

即串联系统总传递函数为各环节传递函数的积。

2）并联，如图2-9所示。

显然有

即并联系统总传递函数为各环节传递函数之和。

3）反馈联接，如图2-10所示。

反馈联接是控制系统最基本和最重要的联接方式，涉及如下基本概念。

● 输入X（s）经比较环节，再通过G（s）环节到输出Y（s），称为前向通道。

● G（s）称为前向传递函数。

● H（s）称为反馈（或反向）传递函数。

● G（s）·H（s）称为开环传递函数。

● 输出Y（s）与输入X（s）间的传递函数称为闭环传递函数。显然

于是，Y（s）＝G（s）［X（s）－H（s）·Y（s）］。从而，闭环传递函数为

2.5.3 框图结构变换与简化

实际系统往往是由多组基本联接组成的复杂结构，这对于系统分析和设计极为不便，因此有必要对框图进行结构变换和化简。变换和化简的方法很多，都遵守等价性原则，即不论如何进行变换和简化，变换和简化前后的传递函数应保持不变。

（1）框图的结构变换法则

这里只讨论单一变换，其他情况列入表2-2。考虑如图2-11所示框图，要求将信号作用点（即比较环节）移至G之前，注意到Y是由两个信号组成的，即

Y＝－X₂+Y₁＝－X₂+GX₁

当信号作用点前移后，Y需要复现所涉及的两个信号部分，即GX₁与－X₂。但前移X₂之后，其作用于G之前，通过G之后依然要保持为－X₂才行。显然

于是，图2-11的框图可变换为图2-12。

（2）复杂框图的等价简化

对于复杂系统框图可利用联接关系和表2-2的等价变换进行图形形式简化。

例2-4 试简化如图2-13所示系统框图。

解：利用图形变换的路径很多，这里选择先将第二个比较环节后移，则有图2-14。

再将第二和第三个比较环节交换次序，于是得到图2-15。

将图2-15的G₃H₂G₂反馈回环简化后，得到图2-16。

再将外回环简化后，则得到图2-17。

最后一个回环可等价变化，如图2-18所示。

例2-4中使用的化简方法称图解法，这种方法比较费时费事。实际上，通过上面的例子可推导出简化公式，即单一通道的多回环系统的闭环传递函数为

式中，n为反馈回环总数（包括正反馈与负反馈），分母中的各项是乘+1还是－1由对应反馈回环是负反馈还是正反馈来决定。

利用式（2-27）可不用绘图就能直接简化框图，但应注意的是，该公式只适用于只有单一前向通道和各回环完全交叉的系统，图2-19所示框图不能使用式（2-27）。

例2-5 试用公式法简化图2-20所示的系统框图。

解：该系统只有单一前向通道，其传递函数是G₁G₂G₃G₄，另有四个反馈回路，其开环传递函数分别是G₃G₄H₄、G₂G₃H₃、G₁G₂G₃H₂、G₁G₂G₃G₄H₁、代入式（2-27），则

2.5.4 控制系统的信号流图

对复杂控制系统进行图形化结构变换不是简单的工作，这个过程受到各种条件的限制。为了解决这些问题，可将系统框图转化为信号流图，再用代数方程求解的方法进行简化，这种方法不仅严格、清晰，而且无须对框图进行图形变换。

（1）信号流图的定义与基本术语

信号流图是描述线性代数方程组的图形方式，当控制系统的线性微分方程组经拉氏变换转换成s－域代数方程组后，其框图便可用信号流图表示。下面先定义信号流图术语。

● 节点，表示系统变量，此变量等于所有进入节点的输入信号之和，且从该节点流出的信号不影响该节点的值，如图2-21中的A、B、C、D。

● 支路，联接节点的有向线段，线段方向为信号流动方向，并注有支路增益或传输增益，如图2-21的AB和BC等，其增益分别为1和G。

● 输入节点或源点，只有输出的节点，如图2-21的A节点。

● 输出节点或陷点，只有输入的节点，如图2-22的C节点。

● 通路，沿支路箭头方向穿过若干节点的路径。

● 前向通道，自输入节点到输出节点的路径或通路，如图2-23中的ABCD通路。

● 回路，始端与终点在同一节点的通路，如图2-23的B－C－B通路。

● 不接触回路，指不具有公共节点的回路，如图2-24中的BCB与DEGD是互不接触的。

● 前向通路增益，前向通路所有支路增益的乘积，如图2-24中前向通路为ABCDEH，其前向通路增益是2G₁G₂。

● 回路增益，是指对应回路中所有支路增益的乘积。图2-24中有两条回路BCB与DE-GD，其回路增益分别是G₁H₁与－G₂H₂。

（2）信号流图的绘制

信号流图一般用于表示如下的线性方程组：

式中，X_i（i＝1，2，…，n）是某变量的拉氏变换。将式（2-28）的关系式用信号流图表示的步骤如下。

● 将式（2-28）中的各变量用节点表示。

● 由各式确定各变量之间的关系，并注明信号流动方向和支路增益。

例2-6 试绘出以下代数方程组对应的信号流图。

解：步骤如图2-25a～d所示。

（3）系统框图与信号流图的转换

实际上，系统框图与信号流图都是标注增益关系的有向图，区别仅在于比较环节上。信号流图中流入节点的变量仅仅是相加关系，而框图中流入比较环节的变量包括加和减关系，由具体的正负反馈而定。如果将比较环节的±号移至反馈通道的传递函数上，那么比较环节就与节点等价了。

图2-26是从系统框图转化为信号流图的典型示例。

将框图转化为信号流图的过程需要遵循等价转换原则，即各部分转换前后的s－域关系保持不变。应该指出的是，信号流图是线性代数方程组的图示，而框图是传递函数代数关系的图示，所以两者的确是可以相互等价转换的。

2.5.5 梅森（Mason）增益公式

当信号流图比较复杂时，也存在对其进行简化的问题。由于信号流图本质上是代数方程组的图示，所以将代数方程组的解公式推广为信号流图简化关系，就是梅森（Mason）增益公式。

（1）信号流图的图解简化法则

● 加法——并接支路的简化：几个同方向的并联支路，可用支路增益等于各支路增益之和的单一支路代替，如图2-27所示。

● 乘法——串联支路的简化： 几个同方向的串联支路可用单一等效支路代替， 该等效支路的增益等于串联各支路增益之乘积， 如图2－28所示。

● 支路移动法则——节点的消除：支路移动后新支路的增益，等于被移动支路增益乘以被消除节点到新支路终点节点通路增益，如图2-29所示。

需要注意的是，新支路只能在各原支路方向与新支路方向一致的两节点间，如图2-30中的节点x₁和x₂之间不能建立新支路。

● 自回环的消除法则，考虑如图2-31所示情形。

显然，x₂＝ax₁+bx₂，于是。这说明，图2-31中的信号流图可以等价成图2-32的形式。

将此情况推广至一般情况，如图2-33所示的自回环等价消除。

例2-7将说明如何利用上述等价转换法则，用图解的方法进行信号流图的简化。

例2-7 试用图解法简化图2-34的信号流图。

解：1）先消除自回环，得到图2-35。

2）再消除第3个节点，得到图2-36。

3）将2、4两节点的支路合并，并与1、2两节点支路串联，得到图2-37。

4）为避免反馈回环消除引起错误，将支路j的引出从节点4改成从节点1引出，为保持等效性，则有图2-38。

5）将5、6两节点之间的支路合并，则有图2-39。

6）将反馈回环消除，并与1、4节点间的支路串联，则有图2-40。

7）最终结果如图2-41所示。

在本例题中，在消除反馈回环时，可在节点4前引入虚拟节点和支路增益为1的虚拟支路，这样更便于计算。

一般来说，利用信号流图等价法则可以将系统总的输入输出增益导出。但当信号流图较复杂时，则直接利用梅森增益公式更为简单。

（2）梅森增益公式

利用公式法直接计算信号流图增益的梅森增益公式为

式中，G_j0表示从第0个源节点到第j个节点间的增益；并且

式中，L_kp是第k个、p个互不接触回环的增益积（通常p个互不接触回环可能有很多种组合，L_kp是其中的第k个），但涉及所有不同回环的增益；是指从源节点0到节点j的第k个前向通路的增益值；是与对应第k个前向通路不相关部分（无公共节点）的式（2-30）的值。

关于梅森公式即式（2-29）的证明要分四步进行。

第一步：考虑线性代数方程组的代数解。考虑如下n变数，n关系式的方程组：

将式（2-31）画成信号流图，如图2-42所示。除源节点0（源节点信号为1）外，有n个节点1，2，…，n（分别对应x₁，x₂，…，x_n）。各节点有自回环，增益为a₁₁，a₂₂，…，a_nn；每两个节点间有一回环，由支路a_ij与a_ji构成。源节点0到各节点1，2，…，n各有一支路，增益为b₁，b₂，…，b_n。

将式（2-31）改写成下式：

由代数方程的克拉默（Cramer）法则，式（2-32）的任一变量x_j的代数解是

式中，Δ_kj是如下定义的行列式Δ的第k行、第j列元素的代数余子式。

第二步：将行列式Δ计算展开。为方便计算，记

显然，Δ＝（－1）ⁿdetΔ^∗成立。又因为

于是，Δ^∗可看成是同阶矩阵A、B展开的和，进而

式中，注意到detB＝（－1）ⁿ，且M_ik是A阵的第k个i阶主子矩阵。

现讨论M_ik。由于M_ik是A的i阶主子式，M_ik必包含形如a_εε的因子，这对应于节点ε的自回环。如果M_ik包括a_rδ，则第一个下标为δ、第二个下标为r的A的元素亦在M_ik中。从信号流图来看就是，在节点r、δ各有一个入支路和出支路，故r、δ是某一回环的两个节点。这就说明，M_ik的元素组成的信号流图中的回环是互不接触的回环。于是，求detM_ik时，就是求对应信号流图的互不接触环的增益积之和。

再讨论M_ik中互不接触的回环数与该项正负号的关系。设M_ik是由r（r＝1，2，…，i中的任意某数）个互不接触环构成，且每个回环分别有s₁，s₂，…，s_r个支路，显然s₁+s₂+…+s_r＝i。由行列式理论

式中，p是由s₁，s₂，…，s_n的排列关系决定的数组，若s₁，s₂，…，s_n是由自然数1，2，…，n经过偶数次交换得到的，则signp为正，反之为负。又因行列式任意两行互换后，再将任意两列互换时，行列式值不变；而行列式任两行和对应两列互换，对应于信号流图的节点重新编号，这当然不影响计算上式时的任一项的符号。所以，可将信号流图的节点重新编号，使计算detM_ik时其所包括的第1，2，…，r个环分别按1，2，…，s₁；s₁+1，s₁+2，…，s₁+s₂；…；s₁+s₂+…+s_r－1+1，s₁+s₂+…+s_r的顺序通过节点，这时r个互不接触环的增益分别是

由此看出，第1个环的增益值中，的排列p＝（s₁，s₂，…，s_k）是由自然数1，2，…，s₁经s₁－1次大小顺序交换得到的，其正负号为。同理，第2个环的符号为，…，第r个环的正负号为，故M_ik行列式值的符号为＝（－1）^i+r。注意到detM_ik前已经有符号因子（－1）ⁱ，于是包括r个不接触环的符号是（－1）^r+i·（－1）ⁱ＝（－1）^r。这就是说，Δ中任意r个不接触环的符号均是（－1）^r。

第三步：展开表示。显然

式（2-34）右边第一项是从源节点0到j节点的前向通路增益与Δ的元素（1－a_jj）的代数余子式之乘积，由第二步的分析，Δ_jj就是除去第j个节点之后的Δ值。

式（2-34）右边第二项的任一项b_kΔ_kj，对应为－Δ^∗矩阵的第j列用另外一列除了其第k行的元素为b_k、其余元素均为零的列代入后得到的矩阵的行列式，即获得的矩阵如下式所示。

显然，Δ_kj是在－Δ^∗中除去k行和j列的矩阵的行列式。这就是说，在Δ_kj对应的信号流图中，节点k没有输入支路（因为a_tj＝0，t＝1，2，…，n），其余的n－2个节点既有输入支路也有输出支路。于是可用－Δ^∗的行列式按第j行，第n列展开，即

式中，Δ_kk·jj·αβ表示Δ中除去第k行、k列，j行、j列，α行、β列后得到的行列式。

对应Δ_kk·jj·αβ信号流图，节点k与j已除去，节点α只有输入支路，β只有输出支路。若α、β为同一节点，Q_jαΔ_kk·jj·αβ·a_αβ是节点k经α节点到j的开路径的传输增益值与不接触路径的Δ值之积。若α、β非同一节点，继续展开，直至从节点k与j间有一开路径为止，即

现在剩下的问题就是决定的正负号。设是由b个支路组成。将节点重新编号使之可表为k＝2，j＝1，并使该开路径顺序地从该节点，经3、4、b+1至节点1。由于的b个支路的每个支路有因子（－1），共有因子积（－1）^b，而排列自然数到交换次数正好为b次，故的正负号是（－1）·（－1）^b＝1，即。

又因为b_k是从源节点到节点k的支路，于是b_kΔ_kj写成。将各节点与源节点的所有支路全部作用之后有

第四步：当上述推导的源节点是x₀时，与以上讨论写到一起，有。由此得出x_i/x₀的关系。证毕。

例2-8 求图2-43所示信号流图e_s与e₀之间的增益。

解：该例有四个前向通道：

12345 对应增益a b c d第一条通路

126345 对应增益a g h c d第二条通路

12645 对应增益agjd第三条通路

123645 对应增益a b i j d第四条通路

不同回环有eb，cf，fij，ckh，hj，kj，efgi，egh；两两互不接触有eb与kj；没有三三及以上互不接触回路，故

Δ＝1－（eb+cf+fij+ckh+hi+kj+fegj+egh）+ebkj

另外，

● 与第一条前向通路相关的Δ为Δ₁＝1-0＝1。

● 与第二条前向通路相关的Δ为Δ₂＝1。

● 与第三条前向通路相关的Δ为Δ₃＝1。

● 与第四条前向通路相关的Δ为Δ₄＝1。

从而，从节点e_s到节点e₀的增益为

例2-9 求图2-44所示的信号流图中从节点x₁到节点x₂之间的增益。

解：共有两条前向通路：2ab，3gfab；图中共有五个回环，其增益分别为ac，gi，abd，ghj，aegf。从而

∑L₁＝ac+gi+abd+ghj+aegf

有四对互不接触回环：ac与gi，abd与ghj，ac与ghj，gi与abd，故

∑L₂＝acgi+abdghj+acghj+giabd

没有三个以上的互不接触回环，从而

∑L_k＝0，k≥3

从而

类似地，与第一条通路相关联系的Δ为Δ₁＝1－（gi+ghj）；与第二条通路相关联系的Δ为Δ₂＝1。最后，由梅森公式得到

（3）关于信号流图的叠加性和互易性

信号流图是线性代数方程组的图形描述，叠加性原理对信号流图成立，这里进行简单证明。

● 叠加性：若信号流图有m个源节点，则某一非源节点j的信号可表示成

式中，x_0p（p＝1，2，…，m）为源节点信号，Δ的定义同梅森公式，只不过它包含了由m个源节点到第j个节点之间的所有情况。与分别对应于第p个源节点到第j个节点间的第k种前向通道，和与该通道不相关联部分信号流图的Δ值。

证明：当有m个源节点x₀₁，x₀₂，…，x_0n时，信号流图对应的线性代数方程组是

由代数方程组的克拉默法则，有

式中，Δ和Δ_kj同式（2-29）和式（2-30）。由梅森公式证明，是从某源节点p至节点j的所有开路前向通道增益与对应路径Δ之积的和，上式给出式（2-35）的结论。证毕。

● 互易性：如图2-45所示的信号流图A。

将图中所有支路均倒向，并保持各支路增益不变，得到图2-46所示的互易信号流图A_t。

于是，若将信号x₀作为A图的源节点0时，在汇节点s产生的信号为x_s，则在A_t图的s点放入信号x₀时，在0点产生的信号为x_s。

证明：由梅森公式，A图的输入输出增益关系是

而在互易信号流图A_t中，有

由于信号流图A、A_t只与各对应支路方向相关，而这对各环路增益或互不接触回环增益以及前面的正负符号都不会有影响，换言之

从而式（2-36）与式（2-37）成立，即结果相同。证毕。