2.2 随机变量及其分布

在许多试验中，观察的对象常常是一个随机取值的量.例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P（A）这个函数可以看成是普通函数（定义域和值域都是数字，数字映射到数字）.但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数.但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来.当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”.于是

称X为随机变量.又由于X是随着试验结果（基本事件ω）不同而变化的，所以X实际上是基本事件ω的函数，即X=X（ω）.同时事件A包含了一定量的ω（例如古典概型中A包含了ω1，ω2，…，ωm共m个基本事件），于是P（A）可以由p（X（ω））来计算，这是一个普通函数.

设试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每个事件ω都有唯一的实数值X=X（ω）与之对应，则称X=X（ω）为随机变量，简记为X.

有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，从而全面反映试验的情况.这就使得我们可以对随机现象进行研究，从前一节对事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样就可以借助数学分析的方法来研究随机现象了.

如果一个随机变量所有可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量.而像子弹着陆点到目标的距离这样的随机变量，由于它的取值范围连续地充满了一个区间，称为连续型随机变量.

2.2.1 随机变量的分布函数

1.离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X的可能取值为Xk（k=1，2，…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=xk）=pk，k=1，2，…

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律.显然分布律应满足下列条件：

1）pk≥0，k=1，2，…；

2） .

2.分布函数

对于非离散型随机变量，通常有P（X=x）=0，但它不可能用分布律表达.例如荧光灯的寿命X，P（X=x0）=0，所以我们考虑用X落在某个区间（a，b]内的概率表示.

设X为随机变量，x是任意实数，则函数

F（x）=P（X≤x）

称为随机变量X的分布函数.

P（a<X≤b）=F（b）-F（a）可以得到X落入区间（a，b]的概率.也就是说，分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性.分布函数F（x）是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率.

F（x）的图形是阶梯图形，x1，x2，…是第一类间断点，随机变量X在xk处的概率就是F（x）在xk处的跃度.

分布函数具有如下性质：

1）0≤F（x）≤1， -∞<x<+∞；

2）F（x）是单调不减的函数，即x1<x2时，有F（x1）≤F（x2）；

3） ；

4）F（x+0）=F（x），即F（x）是右连续的；

5）P（X=x）=F（x）-F（x-0）.

3.连续型随机变量的密度函数

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x），对任意实数x，有

则称X为连续型随机变量.f（x）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度.f（x）的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线.

由上式可知，连续型随机变量的分布函数F（x）是连续函数，所以

P（x1≤X≤x2）=P（x1<X≤x2）=P（x1≤X<x2）=P（x1<X<x2）=F（x2）-F（x1）.

密度函数具有下面4个性质：

1）f（x）≥0；

2） ；

的几何意义为在横轴上面密度曲线下面的全部面积等于1.

如果一个函数f（x）满足1）、2），则它一定是某个随机变量的密度函数；

3） .

4）若f（x）在x处连续，则有F′（x）=f（x）.

P（x<X≤x+dx）≈f（x）dx

它在连续型随机变量理论中所起的作用与p（X=xk）=pk在离散型随机变量理论中所起的作用类似.

X（ω）→X（ω）≤x→F（x）=P（X≤x）

对于连续型随机变量X，虽然有P（X=x）=0，但事件（X=x）并非是不可能事件Φ.

令h=0则右端为零，而概率P（X=x）≥0，故得P（X=x）=0.

不可能事件Φ的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件Ω的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件.

2.2.2 常见分布

1.0—1分布

P（X=1）=p，P（X=0）=q.

2.二项分布

在n重伯努利试验中，设事件A发生的概率为p.事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能的取值为0，1，2，…，n.

P（X=k）=Pn（k）=Cknpkqn-k，其中，q=1-p，0<p<1，k=0，1，2，…，n.则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X～B（n，p）.容易验证它满足离散型分布率的条件.

特别是，当n=1时，P（X=k）=pkq1-k，k=0，1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例.

3.泊松分布

设随机变量X的分布律为

则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记为X～π（λ）或者P（λ）.

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）.如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布.

4.超几何分布

如果随机变量X所有可能的取值为0，1，2，…，L（L=min{M，N}），X的概率分布为

其中整数M，N>0，且n≤N-M，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布，记作

X～H（N，M，n）.

5.几何分布

P（X=k）=qk-1p，k=1，2，3，…，其中p≥0，q=1-p.

则称随机变量X服从参数为p的几何分布.

6.均匀分布

若连续型随机变量X的概率密度为

则称X在区间（a，b）上服从参数为a和b的均匀分布，记作X～U（a，b）.

分布函数为

当a≤x1≤x2≤b时，X落在区间（x1，x2）内的概率为

7.指数分布

如果随机变量X的概率密度为

其中λ为常数，则称X为服从参数为λ的指数分布，记作X～e（λ）.

X的分布函数为

记住几个积分：

8.正态分布

如果随机变量X的概率密度为

其中μ，σ均为常数，且σ＞0，则称X服从参数为μ和σ2的正态分布，记作X～N（μ，σ2）.

f（x）具有如下性质：

1）f（x）的图形是关于x=μ对称的；

2）当x=μ时， 为最大值；

3）f（x）以x轴为渐近线.

特别当σ固定、改变μ时，f（x）的图形形状不变，只是整体沿x轴平行移动，所以μ又称为位置参数.当μ固定、改变σ时，f（x）的图形形状要发生变化，随σ变大，f（x）图形的形状变得平坦，所以又称σ为形状参数.

当μ=0，σ=1时，称X服从标准正态分布，记作X～N（0，1），其密度函数记为

分布函数为 ，Φ（x）是不可求积函数，其函数值已编制成表可供查用.Φ（x）具有如下性质：

1）Φ（x）是偶函数，Φ（x）=Φ（-x）；

2）当x=0时， 为最大值；

3）Φ（-x）=1-Φ（x）且

如果X～N（μ，σ2），则

所以我们可以通过变换将F（x）的计算转化为Φ（x）的计算，而Φ（x）的值则可以通过查表得到.

为分位数的定义.