1.1.3 电磁场问题的边界条件

对于实际低频电气工程问题的数值分析，场矢量在求解区域边界上的分布时通常很难精确给出。因此，在确定场域边界及施加边界条件时，需小心处理合理简化，从而在方便有限元数值处理的同时又能保证足够高的计算精度。

（1）近似无穷远边界 无限大开域问题在低频电磁场计算中非常常见。尽管电磁场能量并非局限在有限的区域，但由于电磁场量的衰减，当求解区域取得足够大时，可近似认为在边界上电磁能量已近似衰减到零。在充分大有限截断区域的边界处，施加近似无穷远边界可以保证计算结果有足够精度，即令

上述条件可以再细化为的法向/切向分量为0以及的法向/切向分量为0。由于电磁场量的衰减，设置法向及切向分量同时为零或者仅仅设置某个方向分量为0，这两种选取方法不会对结果产生什么影响，主要根据对所选取的基函数自由度施加边界条件的方便程度而选择合适的方案。

对于电场问题，采用标量电位计算时，对应的近似无穷远边界条件为φ=0（的切向分量为0蕴含无穷远边界处φ为常数），或者施加自然边界条件（或的法向分量为0）。另外也有学者提出对两种边界条件的两种解求平均值，可以更好地近似真正的无穷远边界[11]。

对于静磁场及低频涡流场问题，可以取充分大的空气区域包围所分析的结构。当采用矢量磁位或标量磁位φ_m进行计算时，近似无穷远边界条件为，φ_m=0。如果对矢量磁位采用棱单元进行离散，则在截断边界施加其切向分量为0。可以证明，该边界条件蕴含的法向分量为0[9]。

（2）电场问题的常见边界条件 电场问题分析中常见的情况是给定电极表面（或整个电极导体）的电位，对于给定导体表面或者导体电位的情况，边界条件或者激励条件为

式中，φ_i为施加的电位值；N为电极（电位端口）数量。注意，当给定整个电极的电位时，电极可以是在求解区域的内部。对于常数电位边界（等电位边界），电场只有法向分量。

当区域边界与电场线平行时，电场只有切向分量，法向分量为0，此时电位满足以下边界条件：

（3）磁场与涡流问题：边界上满足μ=∞，σ=0对于含有感应涡流实体导体的磁场分析问题，在满足μ=∞，σ=0的边界处，由于σ=0，故不存在涡流；当求解区域内的总电流之和为0，即∑i=0的条件（如变压器绕组安匝平衡时的叠片铁心窗口区域内）时，由于边界外区域μ=∞，所以磁场应垂直地进入边界面[12]，即磁场强度的切向分量为0

此时的边界也称为理想磁导体或者完美磁导体边界（Perfect Magnetic Conductor，PMC）。用矢量磁位表示磁场时，式（1-32）化为

式中，n表示边界表面任意位置的法向量；τ、t为切平面独立坐标系的两个单位向量。当铁磁材料在计算域外，且不计其中的涡流时，就可按这类边界处理。

（4）磁场与涡流问题：边界上满足σ=∞满足σ=∞条件的边界，即理想电导体边界（PEC）。当有任何法向时变磁场分量进入理想导体时，边界面内会产生感应涡流，从而将进入的法向磁场排斥出去，使得边界面只存在磁场的切向分量，不存在法向分量，即

用矢量磁位表示时为

式（1-35）表示沿曲面的两个切向坐标分量为0；式（1-36）表示的法向分量的法向导数为0。

（5）磁场与涡流问题：对称面边界 对称边界条件包括奇对称和偶对称两大类。奇对称边界可以模拟设备的对称面，在对称面的两侧场量满足大小相等，符号相反。偶对称边界也可以模拟设备的对称面，在对称面的两侧场量满足大小相等，符号相同。采用对称边界条件可以减小模型的尺寸，有效地节省计算资源。对于存在几何对称面的三维涡流问题，在有些三维涡流问题中，存在着几何对称面。若对称面上的切向分量为0，则可按照上述（3）中的情况给出边界条件；若对称面上的法向分量为0，则可按照上面（4）中的情况施加边界条件。

（6）周期性边界条件 对于旋转电机等具有周期性几何结构的电磁设备，其场量沿几何结构呈周期性变化。针对该类电磁设备可利用周期性边界条件，从而达到提高计算精度、加快求解速度等目的。周期性边界条件分为整周期性边界条件与半周期性边界条件两类[9]。设求解区域为扇环ABB′A′，如图1-2所示。当满足整周期条件时有

当满足半周期条件时有

这时，由于在AB与A′B′上的各对应点的值绝对值相等，因此其中一条边（如A′B′）的节点的值不必求解。