2.3.2 电感元件的正弦交流电路

图2.5所示为电感元件L的单一参数正弦交流电路。流过电感L的电流为正弦交流电流i，其两端的电压为u。这里，令正弦交流电流i的表达式为

对于电感L，如果电压u和电流i的参考方向如图2.5所示，即u和i的参考方向关联，则有

式（2.57）称为电感L上电压和电流的瞬时表达式。

下面对电感L，根据u和i的瞬时表达式，推导出对应电压相量和对应电流相量之间的表达式。

将式（2.56）代入式（2.57）可得

可见，在正弦量i的激励下，响应u也是正弦量。根据正弦量i和u的表达式，见式（2.56）和式（2.58），可分别写出它们的相量式：

将电压相量除以电流相量得

这里，令X_L＝ωL，称X_L为电感L的感抗，并称jX_L为电感L的复感抗。感抗X_L的国际单位为Ω。所以相量和相量的关系可表达为

式（2.61）称为电感L上电压和电流的相量表达式。

根据u和i相量表达式关系，见式（2.61），容易得出如下结论：

1）电感上，电压有效值U和电流有效值I的关系为

因为（jX_L）＝IX_L∠（ψ+90°），根据相量的定义可知，电压u的有效值为U＝IX_L，电压u的初相为ψ+90°。根据正弦电流i的表达式可知，电流i的初相为ψ。于是，正弦电压u的初相减去正弦电流i的初相为90°，于是得出第二条结论。

2）电感上，电压u超前电流i相位90°，或称相量超前相量相位90°，其相量关系示意图如图2.6所示。

对于感抗X_L＝ωL，它表明了电感元件对通过它的电流的阻碍作用，此作用与交流电的频率密切相关。值得一提的是，前面提到直流电可以看成是频率为0的特殊正弦交流电，所以在直流电路中，电感的感抗X_L＝0，这表明电感对电流没有阻碍作用，其表现就像电感处的电路短路了一样。如果电感在正弦交流电路中，则随着频率f的增大，感抗X_L也将越来越大，也即对电流的阻碍作用越来越强。这表明，电感具有俗称的“通直隔交”的作用。

【例题2.2】在图2.7所示正弦交流电路中，已知正弦电压u＝220sin（100πt+30°）V，电感系数L＝0.127H。求电感上电流i的瞬时值表达式，并画出电压u和电流i的相量图。

解答：

1）计算电感的感抗：

2）根据电感上电压和电流的相量表达式可得

3）根据相量与正弦量的关系，写出电流i的表达式：

4）画出相量和的关系图，如图2.8所示。