1.1 有趣的分形龙

拿着一条细长的纸带，把它朝下的一头拿上来，与上面的一头并到一起。用一句简单的话说，就是将纸带对折。接着，把对折后的纸带再对折，又再对折，重复这样的对折几十次……

图1.1.1 纸带对折的过程

注意：4个图中，纸带的长度不是固定的。

然后，松开纸带，从纸带侧面看，如图1.1.1所示，我们得到是一条弯弯曲曲的折线。请别小看这个连小孩子都会做的游戏。从它开始，我们可以探索一连串现代科技中耳熟能详的名词：分形、混沌、蝴蝶效应、生命产生、系统科学……

我们把“纸带对折一次”的动作用数学的语言来表述，便对应于几何图形的一次“迭代”。如刚才所描述的纸带“对折”，就是将一条线段“折”了一下。图1.1.2显示了前两图从“初始图形”到“第一次迭代”的过程。

然后，将这种“迭代”操作循环往复地做下去，最终所得到的图形叫做中国龙，或称分形龙。图1.1.2描述了分形龙曲线几何图形的生成过程。

图1.1.2 分形龙曲线的生成过程

这里需要提醒一点，图1.1.2的迭代过程，与最开始提到的“折纸带”游戏，有一点不同之处：折纸带时，纸带的长度是不变的，而在图1.1.2的迭代过程中，我们保持初始图形中线段的两个端点（A和B）的位置固定不变。因此，所有线段加起来的总长度（对应于纸带长度）应是不断增加的。

仔细研究图1.1.2中分形龙的产生过程，可观察到如下3个有趣之处：

（1）简单的迭代，进行多次之后，产生了越来越复杂的图形；

（2）越来越复杂的图形表现出一种“自相似性”；

（3）迭代次数较少时，图形看起来是一条折来折去的“线”，随着迭代次数的增加（迭代次数→无穷）最后的图形看起来像是一个“面”。

第一条特点一目了然，无须多言。

第二条的“自相似性”是什么意思呢？这是说，一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成的。最通俗的“自相似”例子是人们喜欢吃的花菜，花菜的每一部分，都可以近似地看成是与整棵花菜结构相似的“小花菜”组成的。

之前折叠纸带而构成的分形龙曲线，也具有这种“自相似性”。从图1.1.3可以看出：分形龙可以看成是由4个更小的、但形状完全一样的“小分形龙”组成的［2］。

图1.1.3 分形龙［A］的自相似性（彩图附后）

图1.1.3（a）是分形龙原来的图形。我们将（a）图缩小二分之一，得到为原来大小一半的图（b）；然后，图形（c）包含了四个不同方向的小图形；将这4个小图按照红色箭头的方向移动后，把它们拼成如图（d）的形状，可以看出，图（d）是和原图（a）一模一样的图形。

话说到这儿，读者们大概已经明白，我们要描述的图形有什么样的特点了。并且，从我们所说的图形的名字——分形龙，也可以看出一点名堂来。没错，具有此类性质的图形，就叫做“分形”。

又为什么取名为“分形”呢？这就和刚才总结的第三条特点有关了：分形龙图形，到底是“线”还是“面”？

我们从日常生活中已经建立了“点、线、面、体”的概念，几何学给它们抽象了一下，分别叫它们做“零维、一维、二维、三维”的几何图形。那么，图1.1.2的分形龙到底是一维的“线”还是二维的“面”呢？

这儿谈到了几何图形的“维数”，维数是一个严格的数学概念哦，我们不应该只凭感觉了，而需要更多的数学论证。也就是说，我们需要仔细研究研究，当迭代的次数增加下去，趋向于无穷的时候，分形龙曲线的维数到底是多少呢？

有的人，比如张三同学，思维比较经典，可能会说，分形龙是由一条纸带反复折叠而成的。在数学上，就是一条直线段折了又折而成的。折叠再多的次数，即使是最后那个图，放大之后依然能看出来，是由一条一条小小的“线段”构成的嘛，当然仍然是“线”，还是个“一维图形”喽！

但李四观察思考得更细致些，他反驳张三说，“事情可不是那么简单。你们看，最后一个图形的下面写的是：迭代次数→无穷。这个趋于‘无穷’的意思不是你放大图形能够看到的，你只能凭想象。另外，凡事涉及了‘无限’，就可能得到一些意料之外的结果……”

“什么样意料之外的结果啊？”另一个朋友王二也问李四。

李四解释：“比如，就拿张三刚才提到的‘一条一条小线段’来说吧，我们可以研究，当直线折叠下去时，这每条小线段的长度d（图中所示的d1,d2,…,dn）。如图1.1.2所示，很容易看出来，d会越来越小、越来越小。当n趋于无穷时，d会趋于0。也就是说，每一小段的长度都是0。但是，尽管到了最后，每条小线段的长度都是0，整条直线的长度却显然不是0。这就是因为有无限多个小线段加起来的缘故啊。”

“这就是我为什么说，无限进行的操作会产生意想不到的结果……”李四自信满满地说。

事实上，如图1.1.2的迭代做下去，但是保持初始图形中线段的两个端点（A和B）的位置固定不变的话，我们可以证明，最后这无限多个长度为0的小线段加起来，结果的总长度不但不是0，还是趋于无穷大！因此，李四说：“照我看来，当这条直线无限折叠下去时，每个小线段变成了一个点，这些点将完完全全地充满分形龙图形所在的那块平面。因此，最终的分形龙，应该等效于一个二维图形！”

分形龙到底是一维图形，还是二维图形呢？张三和李四各执己见，争论不休。王二眨眨大眼睛，又发言了，他的观点不同凡响：

“这分形龙的维数，为什么一定要是你们两人所说的，或者1，或者2呢？难道它就不能是个1.2、1.8，或者是二分之三这样的分数吗？”

维数是个分数！那是什么意思啊？张三李四都没听过，其实王二也只是如此猜想而已，并不了解是否真有“分数维”这一说。于是，这个既简单又复杂的美妙的分形龙图形，激发了他们的好奇心和求知欲。这三个大学校园结交的好朋友：学工程的张三、物理系的李四以及学生物的王二，开始了一趟几何之旅。他们对分数维图形，也就是“分形”，从不同的角度开始了进一步的探索。