1.4 再回到分形龙

两人看到张三本子上画的是下面的图形（图1.4.1）：

图1.4.1 谢尔宾斯基三角形

据张三介绍说，这是另一种很简单的分形，因波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Franciszek Sierpiński,1882—1969）得名。谢尔宾斯基主要研究的是数论、集合论及拓扑学。他共出版了超过700篇的论文和50部著作，在波兰的学术界很有威望（图1.4.2）。

图1.4.2 为纪念谢尔宾斯基发行的邮票和谢尔宾斯基奖章

张三说，他原来怎么也想不通维数为什么会是一个分数？后来，谢尔宾斯基三角形的生成过程使他有点开窍！

“你们看，这个分形可以用两种不同的方法产生出来：一种就是图1.4.1那种去掉中心的方法：最开始的第一个图形是个涂黑了的三角形，显然是个二维的图形。我们对它做的迭代变换就是挖掉它中心的三角形，成为第二个图，然后再继续挖下去……

开始我想，无论怎么挖，不都还是好多好多二维的小三角形吗？所以图形总是二维的……但后来，我在网上发现有另外一种方法，也能构成谢尔宾斯基三角形……”张三在本子上翻出另一张图（图1.4.3）给朋友们看：

图1.4.3 由曲线的迭代生成谢尔宾斯基三角形

这种方法是从图1.4.3中左边第一个曲线开始迭代，迭代无限次之后，最后也得到谢尔宾斯基三角形。而曲线是一维的，按照张三原来那种经典的想法，谢尔宾斯基三角形好像又应该是一维图形。所以张三发现：有些图形的维数不好用原来那种经典的方式来理解，当进行无穷次迭代后，几何图形的性质发生了质变，维数也不同于原来生成图形的维数了。看起来，谢尔宾斯基三角形的维数应该是一个介于1和2之间的数。但到底是多少呢？张三看见李四给出了一个计算分形维数的公式，便急于想要把这个分数算出来。

根据李四所解释的方法，张三从图1.4.1或图1.4.3右边的最后一个图计算分形维数。你们看：将图形按照2∶1的比例缩小，然后，用3个小图放在一起，就可以构成和原图一模一样的图形。因此，张三很快算出谢尔宾斯基三角形的豪斯多夫维数d＝ln3/ln2≈1.585。

下面，我们再回头研究分形龙的维数。1.1节的图1.1.3描述了分形龙的自相似性。从图中看出：如果将分形龙曲线尺寸缩小为原来的一半之后，得到（b）图的小分形龙曲线。然后，将4个小分形龙曲线，分别旋转方向，成为如（c）图。最后，再按照（c）图中箭头所指的方向，移动4个小分形龙曲线，便拼成了与原来曲线一样的（a）图分形龙曲线。因此，如此可以证明，分形龙曲线的豪斯多夫维数为2，因为根据公式（1.3.1）,d＝ln4/ln2＝2。

这儿又给出了一个具体例子：经过无穷次迭代之后，图形的性质发生了质变，豪斯多夫维从一维变成了二维。也就是说，图1.4.4中，有限次迭代中的折线，无数次折叠的结果，使折线充满了二维空间，成为图中右边的二维图形。

图1.4.4 有限次迭代到无限次迭代：维数从1变成了2

有趣的是，如图1.4.5所示，分形龙图形的边界也是一个可以用迭代法产生的分形，现在我们来计算分形龙边界的豪斯多夫维数。

图1.4.5 分形龙边界构成的分形

由图1.4.5可知，整个分形龙曲线的边界是由四段相似的图形组成的。这种分形的维数估算方法比较复杂一些，它的分形维数d可以通过解如下方程求得［3,6］：

2 × 2（-3/2）d+2（-1/2）d＝1⇒d＝1.523627085

图1.4.6 分形龙边界由四段自相似图形构成（彩图附后）

通过分形龙及其他几种简单分形，我们认识了分形，理解了分数维。分形几何是理解混沌概念及非线性动力学的基础，在现代科学技术中，有着广泛的应用。