1.2.9　用我们的发明作为跳板

上面的讨论可能会让你觉得数学只不过是一个很大的发明，我们并不是在发现什么东西。在“不是你想的那种无政府主义”一节，我曾解释过为什么不是这样，下面我们来看一个具体的例子。前面我们对“斜率”进行了定义。下面我们将发现，这样做之后，我们就变出了一个不由我们掌控的真理世界。这个世界包含我们没有明确“放进去”的真理，它们对于我们可能不是很显然，但的确是源自我们的设定。

在过去的某个时候，可能曾有人告诉你直线的“公式”是f（x）=ax+b，就好像这件事情太简单了，可以不证自明。请注意在前面的讨论中我们从没用过这个公式，虽然我们一直在谈论直线。至少对我来说，无论是说形如f（x）=ax+b的机器正是我们画的那些直线，还是说所有直线（除了垂直的那条）都可以用这种形式的机器表示，都不是那么显而易见。

除了直接接受这个关于直线的论断，我们也可以自己发明。我们已经发明了陡峭度的概念，现在我们来看看我们发明的这个定义是如何迫使直线是由f（x）=ax+b这样的机器描述。

假设直线可以由某种机器M（x）描述，但我们不想假设它就是ax+b，因为这个对于我们不明显。我们只要求我们用“直线”这个词描述的对象的陡峭度为常数。在前面发明陡峭度的过程中我们已经作了这个假设，也就是“日常经验告诉我们的第二件事情”。让我们用数学来表述这个假设。设x和x是任意的两个数。无论x和x是多少，如果机器M描述了一条直线，则我们要求以下为真

其中符号＃表示“某个不依赖于x或x的不变的数”。好吧，符号太多了。我们这样做是为了不一次跨越太多步骤，其实上面这些东西的主要意思只不过是：

我们要求陡峭度处处都是一个不变的数＃，因为我们是在谈论直线，而等式（1.6）就是我们的“数学表述”方式。但是现在，由于我们要求等式（1.6）对任意x和x都成立，因此当x=0时也必须成立。x=0并无特别之处，x和x可以是任何数。我们这样做只是为了好玩，并且当x为0时，等式（1.6）会更简单一些。如果x正好为0，等式（1.6）说的是：对任意的数x，

由于我们让x保持未知，因此等式（1.7）左上角的M（x）就是我们的机器的完整描述！如果我们将其分离出来，就能成功地从直线的陡峭度应当处处相等的模糊定性的观念（前面我们发明的陡峭度的定义的一部分）转变成用符号精确描述的直线概念！让我们将隐藏在左上角的这个机器的描述分离出来。既然等式（1.7）的两边相等，如果我们将两边乘以相同的数，两边仍然应保持相等。因此如果我们将等式（1.7）两边乘以x，我们会发现等式（1.7）等同于语句M（x）-M（0）=＃x。而这其实就是

M（x）=＃x+M（0）。　（1.8）

喜欢说行话的人将数M（0）称为“y轴截距”，但我们只需知道它是当我们将0放进机器M后得到的数就可以了。符号＃和M（0）都是我们不知道的数（或者说我们选择保持未知的某个值）的缩写，因此我们可以将这个语句写成如下形式：

M（x）=ax+b，　（1.9）

这就是课本上的直线方程。我们自己发明出来了，因此从现在起，它属于我们。

这一章我们做了很多事情！让我们回顾一下做了哪些。我猜下一节可以叫作“总结”。不过我们自己的世界值得有自己的名词。我们是将我们创造的一切都放回到一起，那就叫……

（作者想了一会。）