2.2　波浪物理模型域内的解

由于线性不规则波可以通过波分量的叠加形式来构造，因此有必要对单频波进行分析。考虑无限长的连续造波机，设对应于每一个波分量的静水位处造波板位移可表示为

式中：X0a为静水位处造波板位移的常数幅值；ω为造波机的运动频率；ky为y方向上的波数。

因此，根据式（2.11）的边界条件可得

采用分离变量的方法求解上述控制方程，速度势φ（x，y，z，t）可用下列形式表达：

将式（2.16）代入式（2.1）可得

2.2.1　行进波

行进波是式（2.17）一种常见的解的形式。

设

则

根据式（2.9）的边界条件，同时考虑波数的限制条件k≥ky，可以得到波浪物理模型域内速度势的解：

其中，k0为行进波方向的波数，它相当于式（2.18）中波数k，增加的下标“0”表示为行进波。

将式（2.19）代入式（2.8）可得

式（2.20）给出了行进波的角频率和波数（或波长）的关系，即色散关系，如图2.3所示为行进波的色散关系示意图。

2.2.2　衰减模态

衰减模态是式（2.17）另一种解的形式。

设

则

根据式（2.9）的边界条件，得到波浪物理模型域内速度势的解：

其中，波数k增加的下标“s”表示为衰减模态，衰减模态产生的主要原因是由于行进波的速度剖面与式（2.13）中造波机运动形态函数f（z）不匹配导致。在此ks为实数，并且ks＞0。

将速度势的解式（2.22）代入式（2.8）可得

式（2.23）为衰减模态的色散关系式，图2.4为衰减模态的色散关系示意图。如图2.4所示，对于衰减模态有无穷多个ks的解满足色散关系，每个解由ksj表示，其中j为非零的整数。

2.2.3　完全解

当k等于零时，有一种能够满足拉普拉斯方程的可能的速度势解，但由于边界条件的限制，该速度势解不适用于波浪问题。因此，波浪物理模型域内的完全解为行进波形式解与衰减模态形式解的组合，见式（2.24）。

利用三角函数的正交特性对式（2.24）中系数Cp和Cj进行求解。根据色散关系式（2.20）及式（2.23）可得

根据边界条件式（2.15）可得

其中，c0和csj为实数的传递函数，表达式如下：

对于图2.2（a）所示的平动推板式造波机，其运动形态函数f（z）=1，传递函数c0和csj可简化为如下形式：

利用自由表面边界条件式（2.7），可得到波面高程η（x，y，t）的表达式：

将式（2.28）和式（2.29）代入式（2.33），并利用色散关系式（2.20）及式（2.23）可得

2.2.4　复数形式的解

波浪物理模型域内的解可采用复数形式表达，具体表达式如下：

满足的条件为

式中：i为虚数单位；c.c.为前一项的共轭复数；为复数形式的波数矢量，（kxj，ky）；kj为波数矢量的长度，；为水平位移的矢量，。

式（2.36）～式（2.38）中既包含了行进波又包含了衰减模态。k0为行进波的实数解，无限多个纯虚数kj为衰减模态的解，其中ikj=ksj＞0，（j=1，2，…）。

系数ej为复数形式的传递函数，定义如下：

其中，cj为对应于波浪传播方向，即ky=0的传递函数。对于推板式造波机可由式（2.41）计算得出。

可见除下标以外，式（2.41）与式（2.32a）相同。当j=0时，式（2.41）给出了行进波的实数传递函数c0，即Biesel传递函数[5]；而e0可以是实数，也可以是虚数，这取决于ky的选择。当j=1，2，…时，cj为虚数，式（2.32）中cj=-icsj，并且ej始终为虚数。

当时，kx为实数，生成的波浪场含有行进波的部分。行进波的波面高程可由下列形式表示：

其中，AI为复数形式的波幅，可由式（2.43）得到。

其中，e0为实数。当已知复数形式的造波板运动幅值Xa，即式（2.35）中Xa=-iX0a，可得

在这种情况下有如下关系式：

式（2.45）和式（2.46）中，对于j=0的行进波情况k和α的下标“0”被省略掉，α为行进波的波向，如图2.5所示。

当j=1，2，…时，式（2.36）～式（2.38）中kxj为虚数，它对应于衰减模态。复数形式的αj定义如下：

可得

针对推板式造波机，图2.6给出了Biesel传递函数c0和不同衰减模数n条件下总的衰减模态传递函数。由图2.6可知，当无量纲化的频率时，Biesel传递函数c0达到其极值2；衰减模态传递函数随着频率的增加而逐渐增大。另外对于衰减模态，当衰减模数n逐渐增大时，传递函数也随之增大且逐渐接近于渐进曲线。当时，衰减模数n=20与n=200条件下几乎不变。此外，当增加到某一值以后，大于c0。例如，当时，。这就意味着频率越高，衰减模态的影响越大。当频率增大到一定程度时，衰减模态引起的造波板处局部扰动的幅值超过行进波的幅值。这也说明了推板式造波机对生成高频波存在的问题。

图2.7给出了推板式造波机情况下传递函数e0和几种不同波浪传播方向条件下总的衰减模态传递函数。在此及后续衰减模态中取衰减模数n=20。从图2.7中可见，当波向α增大时，传递函数e0随之增大，但衰减模态传递函数随之减小。

当时，即使在j=0条件下仍然为衰减模态，而不能产生行进波。

针对行进波，沿水深平均的水平速度U（x，y，t）可定义为

式中u（x，y，t）可通过式（2.36）中行进波部分的速度势计算得出。

利用色散关系可得

将式（2.51）代入式（2.49）可得

令BI表示U（x，y，t）的复数形式的幅值，由此可得