六、归纳推理（Ⅱ）：基于两个集合得到数学结论的方法
正如（9）式所表述的那样，类比是基于两个集合的推理注95：“观察到两个或两类事物在许多属性上都相同，便推出它们在其他属性上也相同，这就是类比法。”为了数学推理的严谨性，要求：推理基础是集合而不是类；推理逻辑过程是两个集合中元素具有相同的属性，如果一个集合的元素具有某种性质推断另一个集合的元素也具有这个性质。由此可见，类比也是通过经验过的东西推断没有经验过的东西，因此在本质上，类比属于归纳推理的范畴，正如在前面论述过的那样。
与归纳一样，类比得到的结论也是或然成立的，并且，就得到的结论本身而言，也可以分为两种情况：一种情况是结论可能是必然的类比，另一种情况是结论已知是或然的类比。下面逐一讨论。
结论可能是必然的类比。如果说归纳更多地依赖于规律的发现，那么类比则更多地依赖于跳跃的联想。钱学森非常强调这样的联想，他曾经说注96：
科学上的创新光靠严密的逻辑思维不行，创新的思想往往开始于形象思维，从大跨度的联想中得到启迪，然后再用严密的逻辑加以验证。
如果说，归纳更多用于获取“数的性质”的结论，就像欧拉所说的那样；那么，或许可以说，类比则更多用于获取“图形性质”的结论。德国天文学家、数学家开普勒非常重视类比，他在著作《折光的测量》第四节“论圆锥截面”中说到注97：
其实，我们应当运用几何的类比方法。我珍视类比胜于任何别的东西，我这最可信赖的老师能揭示自然的所有奥秘。它在几何学中更应当得到重视，因为即使对于极不合理的逻辑的述说，类比方法仍然能够沟通两个极端情况中间的诸多情况，将事物的本质明晰地呈现在眼前。
开普勒的述说非常有道理。这是因为在日常生活中，人们遇到的物体形状都是三维的，只是为了研究的方便，才把三维的物体形状进行抽象，表现在二维平面上；反过来，人们又用二维平面上的研究成果推断三维物体形状的性质。
多维空间只能凭联想，因为根本没有关于多维空间的经验，联想的方法就是类比。比如，在一维空间通过数轴表示两个点，定义两点间的距离为两个坐标差的绝对值；在二维空间，用平面直角坐标系表示两个点，用勾股定理定义两点间的距离；类似地，在三维空间利用空间直角坐标系表示两个点，用推广了的勾股定理定义两点间距离。基于这样的经验，对于一般的n维空间，人们通过联想构建n维空间直角坐标系，并且把点与n维数组对应，得到一般化的勾股定理，进而定义距离。这种表示完全是形式化的，凭借的是联想，凭借的是类比。通过形式化的定义，人们可以一般性讨论那个看不见、摸不到的n维空间中的几何问题。庞加莱猜想是类比的典范。在三维空间中，二维的闭曲面不仅有球面，还有自行车轮胎等其他形式的闭曲面。法国数学家庞加莱发现，球面上任意的闭曲线都可以不离开球面地逐渐收缩为一个点，称具有这样性质的闭曲面为单连通，但这个性质对于自行车轮胎那样的闭曲面不成立。庞加莱猜想，这个性质对于四维空间中的三维闭曲面也是成立的，也就是说，三维单连通闭流形必然与三维球面通胚，这显然是基于类比的推理。庞加莱1904年提出这个猜想，后来把这个猜想推广到任意n+1维空间的n维闭曲面。许多拓扑学家深入研究了这个问题，直到100年后的2003年，才由俄罗斯数学家佩雷尔曼最终完成了这个命题的证明。对于庞加莱猜想的证明过程，极大地推动了现代拓扑学的发展，引发出一些很有意义的拓扑学分支。通过这个推理过程可以看到，基于类比的推理是有逻辑的，虽然得到的结论不一定正确，但与归纳一样，这样的推理是创造的基本手段。
结论已知是或然的类比。在日常生活和生产实际中，人们在做一件事情之前，往往先在小范围内做一些尝试，从中汲取经验，然后考虑是否在大范围内推广。虽然不能保证“发生”过的事情必然再度发生，但人们相信小范围与大范围是类似的，事物的发生状况“八九不离十”。这种凭经验，由这一类事物发生的可能性推断另一类事物发生的可能性，这就是结果已知是或然的类比。为了研究的方便，可以把这样的思维过程归结为下面的模式：
集合A和B中的元素都具有属性Q。
集合A中的元素具有性质P的可能性为m/n。
推断集合B中的元素具有性质P的可能性为m/n。（12）
事实上，这种思维模式正是通常说的调查研究。比如，估计鱼塘中鱼的数量，因为不可能把鱼塘中的所有鱼都打捞出来清点，只有采用抽样调查的方法。先在鱼塘中打一网鱼，假如有n条，把这些鱼做上记号放回鱼塘；过一段时间后再打一网鱼，假如有M条，其中m条是有记号的。那么如何根据抽样调查的结果估计鱼塘中鱼的数量呢？下面分析这个问题。
假设鱼塘里有鱼N条，其中有记号的n条（即第一网鱼的数量）；第二网打捞M条,其中有记号的m条，按照（12）思想方法，大范围有记号鱼的比例应当基本等于小范围有记号鱼的比例，因此n/N=m/M，于是鱼塘中鱼的数量大约为注98：N=nM/m
这样的方法已经被用来解决许多实际问题，比如，野生动物的考察，生态资源的合理开发，等等。事实上，股票价格波动的推断也是如此。为了便于投资者更好地把握投资取向，金融服务机构编制出股票价格指数（股票指数），用以描述股票价格的变动情况。可是各类股票繁多、价格变幻莫测，如何才能给出简单明了而又相对客观的股票指数呢？这就要采用价格变化。道·琼斯指数是美国的股票价格指数，是历史最为悠久的股类比的方法，选出一些有代表性的企业，用这些企业的股票变化来代替整个股票交易市场的价格变化。道·琼斯指数最初选用11种运输企业的股票，1897年起选用20种工业和运输企业的股票，以后代表性股票逐渐扩大到65种。
通过上面的两个例子可以知道，结论已知或然的类比的思维方法几乎无处不在，数学教育，特别是基础教育阶段的数学教育应当让学生形成和发展这样的思维方法。那么，应当通过怎样的教学活动实现这样的目标呢？
通过上面的讨论，对数学教育、特别是基础教育阶段的数学教育至少应当清晰两件事情：一件事情是，不能单纯让学生记住一些概念，掌握一些解题的技巧，形成和发展数学核心素养，特别是逻辑推理素养；还有一件事情是，学生逻辑推理素养的形成和发展，在本质上，不是靠教师“教”出来的，而是靠学生“悟”出来的。
虽然，为了数学的严谨性，现代数学逐渐走向了符号化、形式化和公理化，但数学的教学过程却应当反其道而行之，给学生创造直观思维的机会，给学生的“悟”留有充分的时间和空间：虽然概念的表达是符号的，但对概念的认识应当是有具体背景的；虽然证明的过程是形式的，但对证明的理解应当是直观的；虽然逻辑的基础是基于公理的，但思维的过程应当是归纳的。为了实现这样的教学过程，就要求在数学教学活动中，教师要更多地关心学生的思维过程，抓住数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的问题，启发学生思考或者与他人进行有价值地讨论，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的思想，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。这就是基于“四基”的数学教学，这也是未来将要提倡的基于“数学核心素养”的数学教学。